散布图Scatter Diagram
散布图（Scatter Diagram）是把成对的两变量 (x, y) 以点的形式描在直角坐标上，用以直观判断两变量之间是否存在相关关系、相关方向与强度的图形。配合相关系数 r 与回归直线，可量化「x 变，y 是否随之变、怎么变」。
适用场景
- 验证两变量是否相关
- 温度/压力 vs 不良率
- 过程参数 vs 结果
- 为回归/DOE 铺路
- 鱼骨图候选原因的量化验证
前置条件
- 样本 < 3 对（无法拟合）
- 把相关当因果
- 只看 r 忽略散点形态
- 异常点不处理直接算
- 非线性关系硬套直线
核心思想
散布图把「我觉得 x 影响 y」变成「图上能看到 x 与 y 一起变」。r 量化强度，回归线给预测式。但它只证明相关，因果还要结合机理与实验（如 DOE）确认。
为什么 r 只能衡量「线性」相关
相关系数 r 衡量的是两变量的线性相关强度：r=+1 或 \(-1\) 表示点严格落在一条直线上。若真实关系是曲线（如指数）、含离群点、或被混杂变量扭曲，r 会偏小甚至接近 0，却并不代表「无关」。此时应看散点形态、改用秩相关（Spearman \(\rho\) / Kendall \(\tau\)），或对 x 做变换后再拟合。
相关 \(\neq\) 因果：r 强只说明两变量线性相关性强，不等于谁导致谁。确认因果要同时满足三件事——① 机理上说得通；② 排除混杂变量（有分层条件时先分层再看）；③ 用实验验证（DOE / 随机化对照）。所以散布图给出的是「值得去验证的方向」，不是因果结论。
怎么用散布图做决策（流程图）
（这里仅讨论简单线性回归拟合；非线性情形、显著性检验等统计学计算参见「概率与统计」专题。）流程走到最后一步之后：用鱼骨图追原因、用柏拉图排优先级、用控制图确认过程稳定，再谈改善。
上下游衔接
上游 \(\cdot\) 鱼骨图（第4篇）
鱼骨图发散出候选因子，散布图用数据验证它与结果是否真的相关——鱼骨图的假设靠散布图落地。 查看 \(\to\)
下游 \(\cdot\) 控制图（第7篇）
散布图看两变量静态相关；控制图看过程随时间是否稳定、是否报警。相关显著但过程不稳时，先稳过程再看相关。 查看 \(\to\)
下游 \(\cdot\) 柏拉图（第3篇）
散布图确认某因子与结果相关后，用柏拉图对该因子的缺陷/原因排优先级，把改善资源压到关键少数。 查看 \(\to\)
标准与参考
- ISO 9001：基于事实的决策（监视、测量、分析与评价）。
- IATF 16949 / AIAG SPC：统计过程控制与数据分析方法。
- GB/T 4091（常规控制图）：过程稳定性与能力分析的通用口径。
- 秩相关：Spearman \(\rho\) / Kendall \(\tau\)，用于单调但非线性的相关。
- 因果确认：DOE（实验设计）与随机化对照，而非仅凭 r 下结论。
最小二乘拟合 \(\hat{y}\)=bx+a，相关系数 r 衡量线性相关的方向与强度。
\(b = \frac{\Sigma(x-\bar{x})(y-\bar{y})}{\Sigma(x-\bar{x})^{2}}\)回归直线斜率。
\(a = \bar{y} - b\cdot\bar{x}\)使直线过 \((\bar{x},\) \(\bar{y})\)。
\(r = \frac{\Sigma(x-\bar{x})(y-\bar{y})}{\sqrt{\Sigma(x-\bar{x})^{2}\cdot\Sigma(y-\bar{y})^{2}}}\)|r| 越近 1 越强；符号定方向。
\(R^{2} = r^{2}\)y 的变异中可由 x 解释的比例。
实施步骤：从定目的到再验证
- 确定n组成对变量 (x,y) ，数据要同批、成对、量纲一致，建议 \(n\geq 20\)。
- 在直角坐标描点：x 横轴、y 纵轴，每对数据一个点。
- 看散点整体形态：上升/下降、带状宽窄、曲线/喇叭/离群/分团。
- 算相关系数 r 判方向与强度；形态近似直线且 r 显著接近\(\pm 1\) 时，再拟合 \(\hat{y}\)=bx+a。
- 下结论：相关方向与强度、能否用回归预测、预测范围与边界；始终记住相关\(\neq\)因果。
以「回流焊温区温度 vs 焊点偏移量」15 对数据演示：描点 \(\to\) 拟合 \(\to\) 读 r。
粘贴「x,y」每行一对，实时拟合回归线并显示 r。
温度越高偏移越小，呈强负相关。
散布图看相关，因果还需机理+实验确认。
- 误用1 \(\cdot\) 样本<3 对（r=\(\pm 1\) 无意义）：保证成对数据（建议 \(n\geq 20\)）再读 r
- 误用2 \(\cdot\) 相关当因果：结合机理与实验确认因果
- 误用3 \(\cdot\) 忽略散点形态：先看是否线性再读 r
- 误用4 \(\cdot\) 不处理异常点：先查离群点来源
- 误用5 \(\cdot\) 小样本信 r：大样本+看形态
- 误用6 \(\cdot\) 混合数据看相关：先分层再分析
读完全篇再来测。提交后逐题标注对错并给解析。
散点形态识别（8 类典型图）
判读顺序永远是先看形态，再看 r。同一张图按三步读：有没有方向 \(\to\) 是不是直线 \(\to\) 有没有异常结构（喇叭 / 分团 / 离群）。下面 8 类是现场最常见的点云形状。
① 强正线性
点沿上升直线收成窄带：X↑Y↑。形态成立即可用直线预测。
② 强负线性
点沿下降直线收成窄带：X↑Y↓。读法同上，方向相反。
③ 弱相关
带状很宽：方向勉强可辨，但噪声大，单点预测误差也大。
④ 曲线（非线性）
关系明确却在弯曲：r 会接近 0，但绝不是「无关」——换秩相关或变换 x。
⑤ 喇叭形（异方差）
离散度随 X 张开：方差不齐，回归的区间估计会失真。
⑥ 无相关
一团没有方向的云：X 与 Y 近似独立，别再往下拟合。
⑦ 离群点
一个远离主体的红点就能把 r 拉偏：先查是测错还是真发现，再决定去留。
⑧ 分层 / 团块
两团各自成带：混在一起看会掩盖真实关系，先分层再分别分析。