直方图Histogram
直方图（Histogram）是把连续型数据的取值区间分成若干组（bins），以柱高表示各组频数的统计图。它用于观察数据的分布形态（集中/离散/偏斜/双峰/孤岛），并结合规格限（USL/LSL）评估过程能力（Cp/Cpk）。与条形图不同，直方图的柱是连续区间、无间隙。
适用场景
- 看连续数据的分布形态
- 评估过程能力（Pp/Ppk，有子组再 Cp/Cpk）
- 识别偏斜/双峰/孤岛
- 与规格限比较
- 层别后单层看分布
使用前提与禁忌
- 前提：连续型数据；\(n\geq 50\)（能力分析建议\(\geq 100\)）；等宽分组；能给出 USL/LSL
- 禁忌：样本太小分组失真
- 禁忌：组数过多/过少
- 禁忌：当条形图用（留间隙）
- 禁忌：不标规格线就谈能力
- 禁忌：忽略异常形态直接下结论
核心思想
直方图把「一堆数」变成「形状」。均值和标准差只给两个点，直方图给整体形态：是否对称、有没有双峰（可能混了两条线）、有没有孤岛（异常批）。再叠规格线就能谈能力。它看不出时间顺序——过程是否受控要靠控制图（第7篇）。
组数 \(k\approx 1+log_{2}n\)；各组频数/组距得柱高；先看形态、再做正态性与离群检验，最后叠规格线算 Pp/Ppk（有子组再算 Cp/Cpk）。
k = round(1 + \(log_{2}\) n)，至少 5样本量定组数，n=50 约 7 组。
\(h = \frac{max - min}{k}\)各组等宽。
分组实操要点（现场最易踩坑）
- 组界约定：起点取比最小值略小、且为测量单位整数倍；统一「左闭右开 [a, b)」，避免边界值归属不明。
- 组数经验表：n=50~100 \(\to\) 6~10 组；100~250 \(\to\) 7~12 组；>250 \(\to\) 10~20 组（比公式更常用）。
- 组距取整：h 取测量单位最小整数倍，避免 19.398~19.677 这类难读边界。
- 组数不当后果：太少\(\to\)掩双峰/孤岛；太多\(\to\)锯齿、噪声当家。
均值和标准差只给两个点；形态才告诉你过程出了什么问题。先看形状，再谈能力。
| 形态 | 示意 | 特征 | 常见成因 | 下一步 / 对策 |
|---|---|---|---|---|
| 对称型 | 中间高、两侧对称渐低 | 过程稳定、无特殊原因 | 直接算能力 | |
| 右偏 | 右侧拖尾 | 单侧公差、自然界限（接近0）、加工习惯、已剔除单侧不合格 | 先查是否人为剔除 / 调中心；必要时变换 | |
| 左偏 | 左侧拖尾 | 同上（方向相反） | 调中心或数据变换 | |
| 双峰 | 两个明显峰 | 设备 / 料 / 班次 / 产线混合 | 立刻层别，不要先算能力 | |
| 孤岛 | 主分布旁孤立小峰 | 异常批混入、换料、测量错误、临时插单 | 剔除并追溯该批 | |
| 平顶 / 高原 | 各柱高接近、顶部平缓 | 多个过程混合、分组过宽、数据修约 | 层别或重新分组 | |
| 锯齿 | 高低交替 | 组数过多、数据修约到整数、疑似编造 | 减组数；核查数据真实性 | |
| 断崖 / 截尾 | 一侧被削平 | 全检剔除不合格品后只留合格品、量具分辨力不足 | 追剔除记录——过程已失控的铁证 | |
| 离群柱 | 单根柱远离主体 | 异常值 / 测量错误 | 先做离群检验（Grubbs / 箱线图）再决定去留 |
\(Pp = \frac{USL - LSL}{6\sigma_{\mathrm{overall}}}\)\(Ppk = \frac{min(USL-\mu, \mu-LSL)}{3\sigma_{\mathrm{overall}}}\)\(\sigma_{\mathrm{overall}}\) = 全部数据的样本标准差。无子组、只有一批数据时只能算 Pp/Ppk。
\(Cp = \frac{USL - LSL}{6\sigma_{\mathrm{within}}}\)\(Cpk = \frac{min(USL-\mu, \mu-LSL)}{3\sigma_{\mathrm{within}}}\)\(\sigma_{\mathrm{within}}\) = 组内波动（\(\bar{R}/d_{2}\) 或 \(\bar{s}/c_{4}\)），反映过程固有 / 短期能力，需有子组才能算。
能力等级判定（Cpk / Ppk）
| 等级 | Cpk/Ppk | \(\sigma\) 水平 | 判定 | 常规处置 |
|---|---|---|---|---|
| A++ | \(\geq 2.00\) | \(\sigma\) \(\geq\) 6.0 | 特级 | 可考虑简化检验 |
| A+ | 1.67~2.00 | \(\sigma\) 5.0~6.0 | 优 | 保持 |
| A | 1.33~1.67 | \(\sigma\) 4.0~5.0 | 良 | 理想状态 |
| B | 1.00~1.33 | \(\sigma\) 3.0~4.0 | 一般 | 需改进 |
| C | 0.67~1.00 | \(\sigma\) 2.0~3.0 | 差 | 立即改善 |
| D | <0.67 | \(\sigma\) < 2.0 | 不可接受 | 停线整顿 |
\(\sigma\) 水平由「预期不良率」反推（\(\sigma_{\mathrm{bench}}\)）。行业差异：IATF 16949 要求 PPAP 初始过程 \(Ppk\geq 1.67\)、量产 \(Cpk\geq 1.33\)；医疗 / 航空更严。
能力指标全家福 + 不良率换算
| 指标 | 公式 / 说明 | 何时用 |
|---|---|---|
| Cpu / Cpl | \((USL-\mu)/3\sigma\)、\((\mu-LSL)/3\sigma\) | 单侧规格 |
| Pp / Ppk | 整体 \(\sigma\) | 长期 / 实际表现 |
| Cp / Cpk | 组内 \(\sigma_{\mathrm{within}}\) | 短期 / 潜在能力 |
| Cpm | \((USL-LSL)\) / \((6\sqrt{\sigma^{2}+(\mu-T)^{2}})\) | 考虑偏离目标值 T（田口） |
| Cpk（理想居中、无漂移） | 折算 \(\sigma\) 水平 | 理论不良率 |
|---|---|---|
| 0.67 | \(2\sigma\) | ~45,500 ppm |
| 1.00 | \(3\sigma\) | ~2,700 ppm |
| 1.33 | \(4\sigma\) | ~63 ppm |
| 1.67 | \(5\sigma\) | ~0.6 ppm |
| 2.00 | \(6\sigma\) | ~0.002 ppm |
| Cpk（含 \(1.5\sigma\) 长期漂移） | 折算 \(\sigma\) 水平 | 长期不良率 |
|---|---|---|
| 2.00 | \(6\sigma\) | 3.4 ppm |
| 1.67 | \(5\sigma\) | 233 ppm |
| 1.33 | \(4\sigma\) | 6,210 ppm |
| 1.00 | \(3\sigma\) | 66,807 ppm |
| 0.67 | \(2\sigma\) | 308,538 ppm |
| 0.33 | \(1\sigma\) | 691,462 ppm |
注：两张表口径不同，报告时须注明用的是哪一种——① 理想居中、无漂移（上表）：折算 \(\sigma\) 水平 = 3 \(\times\) Cpk，即 2,700 ppm 对应 \(3\sigma\)、63 ppm 对应 \(4\sigma\)，用于设备验收 / 短期能力确认；② 含 \(1.5\sigma\) 长期漂移（下表）：即六西格玛常引的「3.4 ppm = \(6\sigma\)」口径，把过程均值长期会偏移 \(1.5\sigma\) 也计入不良，同一 Cpk 下不良率更高、更保守。报 Cpk 的同时给出 \(\sigma\) 水平，不熟悉能力指数的同事也能一眼看懂。
以 50 个焊点厚度演示：原始值 \(\to\) 分组柱 \(\to\) 正态拟合 \(\to\) 标规格线判能力。
粘贴连续测量值，填 USL/LSL/目标，实时算 Pp/Ppk 并绘图（整体 \(\sigma\)）。
分布居中、对称；是否正态须经正态性检验数值确认（见下方卡片），不能只靠目视。经 Grubbs 离群检验无显著异常批，能力尚可（Pp/Ppk）。
直方图看形态+能力，分组与规格线是关键。
- 误用1 \(\cdot\) 样本<50 分组：攒够样本再画
- 误用2 \(\cdot\) 组数乱定：\(k\approx 1+log_{2}n\)
- 误用3 \(\cdot\) 当条形图用：柱间无间隙、连续区间
- 误用4 \(\cdot\) 不标规格线：叠 USL/LSL 谈能力
- 误用5 \(\cdot\) 忽略双峰/孤岛：异常形态先查原因
- 误用6 \(\cdot\) 只看 Cp：报告用 Cpk（含居中）
直方图的两大局限（务必记住）
- 不含时间顺序：稳定过程与周期漂移过程可能画出一模一样的直方图，故直方图不能判断过程是否受控——受控性只能靠控制图（第7篇）。
- 规格限 \(\neq\) 控制限：规格限来自客户 / 设计（USL/LSL）；控制限来自过程本身（由数据算出）。
图一：同样的数值分布，不同的收集时间顺序 \(\to\) 直方图完全相同
左上「稳定随机序」、右上「缓慢单调漂移序」——两种收集时间顺序完全不同，但因为数值的分布相同，画出的直方图（下方）完全一致。直方图把时间维压平了，所以看不出过程是否失控——这正是它不能替代控制图的原因。
图二：规格限（红）vs 控制限（蓝）
USL/LSL = 目标值 \(\pm\) 公差（客户 / 设计给定），判「合格与否」；控制限 = \(\bar{X}\) \(\pm\) \(A_{2}\cdot\bar{R}\)（或 \(\bar{X}\) \(\pm\) \(3\sigma_{\mathrm{within}}\)），由过程数据算出，通常比规格限窄、且随过程变化，判「过程稳不稳」。两者来源与含义都不同，切勿混用。
正态性检验（目视不可靠，必须做数值检验）
直方图看形态只是「肉眼初判」，是否真正态要由统计检验给出 p 值——否则双峰 / 偏斜可能被掩盖，能力结论不可靠。
- 何时必须做：凡要报 Cp/Cpk、Pp/Ppk 或任何「正态能力」之前；数据含自然界限（平面度、圆度、不良率、接近 0 的尺寸）时更要查；肉眼已见偏斜 / 双峰也应查。
- 选哪个检验：\(n\geq 30\) 用 Anderson–Darling（A–D）（对尾部门槛敏感，最常用）；n<50 用 Shapiro–Wilk（S–W）；大样本也可用 K–S。本页案例用 A–D。
- 怎么做：① 标准化 z=\((x-\mu)/\sigma\)；② 升序按 A–D 公式算 \(A^{2}\) 并修正为 \(A^{2}*\)；③ 由 \(A^{2}*\) 近似出 p 值；\(p\geq 0.05\) \(\to\) 不拒绝正态（可当正态用），p<0.05 \(\to\) 拒绝正态。
- 非正态怎么办：先做 Box–Cox / Johnson 变换 \(\to\) 对变换后数据做能力分析；或直接按实际分布算实测 PPM，不要把非正态数据硬套 Cp/Cpk。
样本量与代表性
- 能力分析一般要求 \(n\geq 100\)（或至少 25 个子组）；n<50 形态不可信。
- 数据须随机、独立、代表当前过程，不能用挑过的「好数据」。
- 先层别再分组时每格样本被切薄，需设下限（如每格\(\geq 5\)），否则单层结论失真。
看完直方图，下一步做什么？（决策树）
术语速释
| 术语 | 含义 |
|---|---|
| USL / LSL | 规格上限 / 下限（来自客户或设计） |
| Cp / Cpk | 潜在（短期）过程能力，用组内 \(\sigma_{\mathrm{within}}\) |
| Pp / Ppk | 实际（长期）过程能力，用整体 \(\sigma_{\mathrm{overall}}\) |
| \(\sigma_{\mathrm{within}}\) / \(\sigma_{\mathrm{overall}}\) | 组内波动 / 整体波动 |
| PPM | 百万分之不良率 |
| 正态性检验 | 判断数据是否近似正态（A–D / S–W / K–S） |
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