第 07 篇 \(\cdot\) 旧 QC 七大手法

控制图Control Chart

定义（DEFINITION）

控制图（Control Chart，休哈特图）是按时间顺序画出过程统计量（如子组均值 \(\bar{X}\)、极差 R）并加上中心线 CL 与控制限 UCL/LCL 的图，用于区分过程的「普通原因波动」与「特殊原因波动（判异）」。\(\bar{X}-R\) 图适用于计量值、子组恒定 n 的场景：\(\bar{X}\) 图监控中心，R 图监控离散。

一句话总结控制图回答「过程稳不稳」——越出控制限就是特殊原因在捣乱，该查不该忍。

相关工具与延伸：控制图试算器（P4） · 控制图工作台（P3） · 过程能力试算器（P4） · 过程能力工作台（P3） · SPC 方法页（P6）。铁律：先受控、再谈能力。

适用场景

判断过程是否受控（稳定）
区分普通/特殊原因
提供过程改进依据
过程改进前后对比
是过程能力指数Cp/Cpk/Pp/Ppk分析的前提

常见错误

子组 n 不一致
用错控制限系数
把规格限当控制限
一点越界就大改
未先分层导致混淆

核心思想

控制图的核心是「判异不判稳」：点在界内不证明完美，只是没发现特殊原因；点越界或呈链/趋势，则大概率有特殊原因，应去查而非调参。CL 来自数据，UCL/LCL 来自 A2/D3/D4 与子组大小 n。

标准与参考

GB/T 4091《常规控制图》——等同采用 ISO 7870，规定 8 条判异准则与控制限系数
ISO 7870 系列（控制图通用指南与各类图）
AIAG《统计过程控制（SPC）参考手册》
GB/T 17989《控制图通用指南与选用》

上游：直方图（第5篇）

层别后的数据分布与规格对比，是控制图选型的下游依据

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上游：散布图（第6篇）

两变量相关分析，先确认关键质量特性再建控制图

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关联：鱼骨图（第4篇）

控制图判异后，用鱼骨图深挖特殊原因

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常见误用与注意事项

注意 1控制限\(\neq\)规格限。CL/UCL/LCL 由过程数据算，规格限来自客户要求，两回事；控制限看「稳不稳」，规格限看「够不够好」。

注意 2子组 n 恒定，且要合理划分。组内尽量同质（同批料、同班次、同设备、短时间内取），组间留出变异机会；错误地把不同班次混在一个子组会放大组内变异、撑宽控制限，反而掩盖真实异常。

注意 3判异规则不止一点越界。GB/T 4091（等同 ISO 7870）共 8 条：链（连续9点同侧）、趋势（连续6点升降）、交替（连续14点）、\(\frac{2\sigma}{1\sigma}\) 区规则、波动异常等；规则1（单点超\(3\sigma\)）最不敏感，单靠它漏判率高。本页主演示规则1，完整 8 条见判异准则。

注意 4越界先查后改。先找特殊原因（换料/换人/设备异常/环境突变），勿贸然调过程均值。

注意 5过程受控是过程能力计算的前提。控制图只说「未检出特殊原因」；未受控的过程算 Cp/Cpk 没有意义，须先受控再谈能力。

注意 6先分层。混合数据画控制图会出现假异常，也可能掩盖真异常；判异后回到班次/设备分层定位原因。

常见误用

误用1 \(\cdot\) 控制限当规格限：二者来源不同，勿混
误用2 \(\cdot\) n 不一致：保持子组大小恒定
误用3 \(\cdot\) 越界就大改：先查特殊原因
误用4 \(\cdot\) 只看一点：也看链/趋势/周期（8 条准则）
误用5 \(\cdot\) 混合数据画：先分层
误用6 \(\cdot\) 界内即达标：控制图不证明能力足够
误用7 \(\cdot\) 选错图种：n=1 用 I–MR、n>10 用 \(\bar{X}-s\)、计数用 p/np/c/u

选图种：决策树 + 全览 \(\to\)

案例与演练XH-2508 焊点厚度 \(\cdot\) 20 子组 n=5 \(\cdot\) \(\bar{X}-R\)

#18/#19 的 \(\bar{X}\) 越出上控限判异；接第 02 篇层别法——先判异、再回到「是哪台炉 / 哪个班次」分层定位。

20组

子组数

n=5

2组

\(\bar{X}\) 越界

#18 #19

0组

R 越界

离散受控

20.13

\(\bar{X}\) 中心

\(\bar{x}bar\)

20.81

\(\bar{X}\) UCL

判异基准

判异

\(\bar{X}\) #18/#19

超上控限（规则1）

R 图

受控

离散无异常

受控基线

剔除后 18 组

Phase I 重算见专节

提示\(\bar{X}\) 越界而 R 正常，说明中心偏移（特殊原因），应查那两批的设备/物料而非调全局。

提示控制限来自数据本身，不是规格限；别混用。

Phase I#18/#19 判异后，追查为换料/设备异常（特殊原因），剔除两点、用剩余 18 组重算：\(\bar{x}bar\)=20.028、Rbar=1.133、UCLx=20.682、LCLx=19.374，18 点全部回到控制限内 \(\to\) 得到受控基线，转入 Phase II 监控（详见「Phase I / Phase II」）。

除本节的综合案例外，15 个图种各配有一个对应案例，位于左侧「计量型 / 计数型 / 特殊类型」各图种详解的最后一节「⑥ 案例」。

判读准则 \(\to\)失控处置 \(\to\)返回概念 \(\to\)

自测练习每次随机抽题 \(\cdot\) 提交即给解析

读完全篇再来测。提交后逐题标注对错并给解析。

概念回看 \(\to\)判读要点 \(\to\)

选图种：决策树 + 全览选

控制图不是只有 \(\bar{X}-R\) 图。选错图种全盘皆错——先判数据类型与子组大小，再选图种。下面给出「互动逐步选型器」+「快速选型流程图」+「全览表（适用 / 不适用 / 特点 / 场景）」+「合理子组完整清单」，可直接按图索骥。

① 互动逐步选型器

按顺序点选条件，右侧实时给出推荐图种与理由；可随时「重新选择」。

—

请选择第一项条件 \(\to\)

② 快速选型流程图

菱形 = 判断点箭头旁文字 = 判断条件方框 = 选定的控制图类型圆角框 = 该图种的适用条件

提示：下图每个蓝色图种方框、以及下方全览表「缩写」列均可点击，直接跳转到该图种的原理 / 统计量 / 绘制 / 注意点 / 典型样图详解。

③ 全览表：适用 / 不适用 / 特点 / 场景

图种	缩写	适用情况	不适用情况	特点	适用场景
单值–移动极差	I–MR	单值、n=1、无法分组	严重偏态（考虑 Box-Cox 或非负参图）	对偏移灵敏度低，但灵活	破坏性试验、化学过程在线仪表
均值–极差	\(\bar{X}-R\)	n=2~9，手工/经典	\(n\geq 10\)（极差估计效率骤降）	计算简便，历史意义强	现场常用 n=3~5
均值–标准差	\(\bar{X}-S\)	\(n\geq 10\) 或软件计算	—	大 n 下效率高于 R	现代软件优先推荐
中位数–极差	\(\tilde{X}-R\)	现场快速、有离群值（稳健）	需精确均值时	排序取中值，抗离群	一线缺乏统计知识时
不合格品率	p	不合格品率、n 可变	p 极低时需极大 n	控制限随 n 变化	样本量波动的计件数据
不合格品数	np	不合格品数、n 固定	n 可变	控制限恒定	固定抽样量的计件数据
缺陷数	c	缺陷数、检验单位固定	平均缺陷数 c 很小（下控限为 0）	泊松分布	每批单位固定的计点数据
单位缺陷数	u	单位缺陷数、单位可变	同 c 图	泊松分布	面积/长度变化的计点数据
累积和	CUSUM	微小偏移 0.5~\(1.5\sigma\)	突发大偏移报警较慢	两侧累积和检单侧漂移	已知目标值的过程
指数加权移动平均	EWMA	小偏移（\(\lambda\) 调权）	大偏移不如休哈特图	平滑历史，\(\lambda\) 越小越灵敏	常与 I–MR 联用
Hotelling \(T^{2}\)	\(T^{2}\)	多相关质量特性	不可用多个单变量图替代	联合统计量=马氏距离	内径/外径/椭圆度等多指标
稀有事件间隔	g / t	事件率极低（p < 0.001），常规图数不到事件	事件率不低（用 p / c 图更直观）	用概率限；跌破下控限才是恶化，方向与传统图相反	六西格玛水平的极低不良率监控
标准化小批量	Z–MR	多品种小批量，单品种样本不足以单独建限	各品种 \(\sigma\) 无法可靠估计时	按各自目标值与 \(\sigma\) 标准化后同图监控	柔性产线、频繁换型的定制加工
预控制	Pre-control	过程能力充足（Cpk \(\geq\) 1.33），只需守住规格	能力不足；或需要做过程能力分析	绿 / 黄 / 红三区，操作工零计算；不能替代控制图	操作工自检、换型后首件确认
多流 / 残差	Multi / Residual	多腔多头多流；或数据自相关导致常规图虚报	单流且观测独立（用常规 \(\bar{X}-R\) / I–MR 即可）	多流分色共用控制限；残差图先拟合模型再建图以恢复独立性	多腔注塑；连续化工 / 造纸过程

④ 合理子组：成败关键（比会算公式更重要）

定义与意义

在尽可能相同的条件下（同批料、同班次、同设备、同测量系统、连续短时间内）抽取的一组样本，使组内变异只反映普通原因，而子组间按时间顺序保留班次、批次、时间等变异机会，使特殊原因能被控制图检出。

为什么重要：合理子组是控制限与判异有效性的基础。划分错误会导致控制限失真、真实异常被掩盖——因此它比公式更重要。

看计量型怎么建 \(\to\) 看计数型怎么建 \(\to\) 看特殊型怎么建 \(\to\)

▸ 展开：合理子组完整清单

1. 定义与目标

合理子组 = 在尽可能相同条件下生产 / 测量的一组数据
让组内变异只反映普通原因、组间变异反映特殊原因
控制限主要用组内变异估计 \(\sigma\)
本质：组内同质、组间按时间保留变异机会
是按生产逻辑分层，不是随机抽样

2. 核心原则

组内变异最小化且只含普通原因
组间按时间覆盖班次 / 批次 / 时间
先定子组再收集数据，不事后按结果分组
子组大小通常固定
先看 R / S 图再解释 \(\bar{X}\) 图
控制限 \(\neq\) 规格限
过程不稳不宜直接做能力分析

3. 组内同质条件

同生产条件
- 同原料批次 / 供应商 / 配方
- 同班次 / 班组 / 操作者
- 同设备 / 机台 / 模具 / 刀具
- 同工艺参数
- 同测量系统 / 量具 / 人员
- 同环境（温湿度 / 洁净度）
- 同型号规格
- 同维护校准状态
连续短时无换批 / 换班 / 换模 / 调整 / 停机
要监控某变异源 \(\to\) 组内同该源
同质是相对要监控的变异源而言

4. 组间变异机会（应体现在子组之间，而非混进组内）

跨班次
跨批次 / 原料
跨时间（时 / 天 / 周）
跨设备 / 产线
跨操作者 / 班组
跨模具 / 夹具 / 刀具
跨维护调整换型
跨环境
跨供应商
跨测量系统 / 校准周期

5. 样本量 n

n = 1 \(\to\) I–MR
n = 2~3 \(\to\) \(\bar{X}-R\)（控制限偏宽）
n = 4~5 \(\to\) 最常用
n = 6~9 \(\to\) 视情况
n \(\geq\) 10 \(\to\) 改用 \(\bar{X}-S\)
计数型 p / np / c / u \(\to\) 子组足够大使 \(n\bar{p}\) / \(\bar{c}\) 满足近似
测量系统变异大 \(\to\) 先做 MSA

6. 抽样频率与组数

建限阶段一般 \(\geq\) 20~25 组
组内连续、组间固定间隔
间隔覆盖变异源且不与过程周期同步
变化快缩短、慢延长
记录：时间戳 / 班次 / 设备 / 批次 / 操作者 / 原料 / 测量系统

7. 控制图匹配

计量型
- n = 1 \(\to\) I–MR
- 2 \(\leq\) n \(\leq\) 9 \(\to\) \(\bar{X}-R\)
- n \(\geq\) 10 \(\to\) \(\bar{X}-S\)
计数型 \(\to\) p / np / c / u
小批量短周期 \(\to\) Z–MR / EWMA / CUSUM
自相关 \(\to\) EWMA / CUSUM / 残差
多流 \(\to\) 多流或分层
破坏性 \(\to\) I–MR
多品种小批量 \(\to\) 分层或标准化

8. 建立控制限流程（顺序）

明确对象与变异源
设计子组
收集 \(\geq\) 20~25 组
算 \(\bar{X}\) 与 R / S
先查 R / S 图
识别特殊原因点
仅在有可证实特殊原因时删异常点
重算
确认稳定
用于日常
定期评审
重大变更后重评

9. 判异与反应

判异准则（Western Electric / Nelson 8 条）
- 1 点越限
- 连 7 升 / 降
- 连 7 同侧
- 连 14 交替
- 3 中 2 超 \(2\sigma\)
- 5 中 4 超 \(1\sigma\)
- 连 15 在 C 区
- 连 8 无 C 区
反应流程
- 先查 R / S 再查 \(\bar{X}\)
- 分层查因（班次 / 设备 / 批次 / 操作者 / 原料 / 时间）
- 工具：多变异图 / 箱线图 / ANOVA / 因果图 / 5Why
- 不无据删点
- 找到原因后纠正并验证
- 不搅混数据

10. 特殊情形

自相关 \(\to\) EWMA / CUSUM / 残差
破坏性 \(\to\) I–MR 或按批
多流 \(\to\) 各流单独或合并
批处理 \(\to\) 区分批内 / 批间
短周期小批量 \(\to\) Z–MR / EWMA
高产量 \(\to\) 合理设间隔
低产量 \(\to\) I–MR
测量系统变异大 \(\to\) 先做 MSA
趋势漂移 \(\to\) EWMA / CUSUM
多品种混线 \(\to\) 分层或标准化
过程不稳 \(\to\) 先稳再谈能力

11. 常见错误

不同班次 / 设备 / 批次 / 操作者混一组
组内取样太久
组间取样太近
用随机抽样代替合理子组
n 不一致致控制限错
用规格限代替控制限
未先查 R / S 直接解释 \(\bar{X}\)
无据删异常点
控制限长期不更新
忽略测量系统误差与自相关
判异后搅混数据
过程不稳就算 Cpk / Ppk

12. 验证检查

组内是否同批料 / 班次 / 设备 / 操作者 / 测量系统 / 连续短？
组间是否覆盖变异源？
n 是否合适？
建限阶段是否 \(\geq\) 20~25 组？
频率是否合理？
图种是否匹配？
是否先查 R / S？
判异是否分层查因？
是否记录全部生产条件？
是否定期评审？
变更后是否重评？

13. 文档与培训

制定合理子组作业指导书
培训操作者 / QC / 工程师
记录：子组划分依据与编号 / 时间 / 班次 / 设备 / 批次 / 操作者 / 原料 / 测量系统
工艺 / 设备 / 原料 / 测量系统变更时重评
定期审计
纳入 SPC 程序文件

一句话总原则：组内只留普通原因，组间保留特殊原因；先合理分层，再谈公式。

全部 15 个图种速查（点击进入详解）

I–MR 图（单值–移动极差）\(\bar{X}-R\) 图（均值–极差）\(\bar{X}-S\) 图（均值–标准差）\(\tilde{X}-R\) 图（中位数–极差）p 图（不合格品率）np 图（不合格品数）c 图（缺陷数）u 图（单位缺陷数）CUSUM 图（累积和）EWMA 图（指数加权移动平均）Hotelling \(T^{2}\) 图（多变量）g / t 图（稀有事件）Z–MR 图（小批量标准化）预控制图（Pre-control）多流 / 残差控制图

计量型：\(\bar{X}-R\) / \(\bar{X}-S\) / \(\tilde{X}-R\) / I–MR建\(\cdot\)计量

计量型控制图：总述

计量型控制图直接测量连续尺度的质量特性，信息量最大，是 SPC 的首选。其核心依据是中心极限定理：即使个体数据不完全正态，样本均值的分布也近似正态。选择原则主要是子组大小 n：n = 1 只能用 I–MR；n < 10 时 R 图计算简便、曾被广泛使用；n \(\geq\) 10 时样本极差 R 的统计效率急剧下降，必须改用 S 图。现代软件已可自动计算 S，因此推荐在所有 n > 1 的情况下优先使用 \(\bar{X}-S\) 图；除非手工描点，否则 \(\bar{X}-R\) 图仅保留其历史意义。此外，\(\tilde{X}-R\) 以中位数替代均值、不需计算，当一线人员缺乏统计知识或需现场快速判断时仍是实用选择。无论用哪一种，判读顺序都是先看变异图（R / S / MR），再看位置图（\(\bar{X}\) / \(\tilde{X}\) / I）。
录入口径：先定子组大小 n，再按子组逐行录入原始测量值（横向 n 列或逗号分隔，两种可切换），\(\bar{X}\) / \(\tilde{X}\) / R / S 由系统按行实算并显示为只读列——不必先手算统计量，也少一次抄错机会；某行个数与 n 不符时该行标红提示，不会被静默截断或补齐。

3.1 I–MR 图（单值–移动极差）

破坏性试验（拉力、焊接强度）、批量化工过程、每班只做一次的全尺寸测量。

进入详解：原理 / 统计量 / 绘制 / 注意点 / 典型样图 \(\to\)

3.2 \(\bar{X}-R\) 图（均值–极差）

机加工尺寸、注塑重量、灌装量等常规计量特性的现场 SPC。

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3.3 \(\bar{X}-S\) 图（均值–标准差）

自动检测线、在线量具、MES 自动采集等高产量且由软件出图的场合。

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3.4 \(\tilde{X}-R\) 图（中位数–极差）

车间看板手绘控制图、操作工自检、快速换型后的首件确认。

进入详解：原理 / 统计量 / 绘制 / 注意点 / 典型样图 \(\to\)

计量型控制图采用「双层」设计：一张图监控中心位置（均值/中位数/单值），一张图监控离散程度（极差/标准差/移动极差），联合使用才全面。

铁律：先变异，后位置。 先判 R/S/MR 图（变异受控），再判 \(\frac{\frac{\bar{X}}{\tilde{X}}}{I}\) 图（位置）。因为位置图的控制限由变异图估计的 \(\sigma\) 算出——变异失控会扭曲位置图的控制限，直接判读位置图会得出错误结论。

① \(\bar{X}-R\) 图（n=2…9，最经典）

图	CL	UCL / LCL
\(\bar{X}\) 图	\(\bar{x}bar\)	\(\bar{x}bar\) \(\pm\) \(A2\cdot Rbar\)
R 图	Rbar	\(D4\cdot Rbar\) / \(D3\cdot Rbar\)（\(n\leq 6\) 时 LCL=0）

控制限的本质

\(UCL = \bar{x}bar + 3\cdot\sigma_\bar{x} = \bar{x}bar + 3\cdot(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}) = \bar{x}bar + [\frac{3}{d2\cdot\sqrt{n}}]\cdot Rbar = \bar{x}bar + A2\cdot Rbar\)

其中 A2 = \(3/(d2\cdot\sqrt{n})\)。控制限是 \(\pm 3\sigma_\bar{x}\)（子组均值的标准差），不是 \(\pm 3\sigma\)（单值标准差）；\(\sigma_\bar{x}\)=\(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\)，故子组越大控制限越窄。系数表见本页下方

② \(\bar{X}-S\) 图（\(n\geq 10\)，或软件计算）

图	CL	UCL / LCL
\(\bar{X}\) 图	\(\bar{x}bar\)	\(\bar{x}bar\) \(\pm\) \(A3\cdot Sbar\)
S 图	Sbar	\(B4\cdot Sbar\) / \(B3\cdot Sbar\)

大子组下极差 R 估计效率下降，标准差 S 利用全部数据更精确（n=5 时 R 效率约 0.955，n=10 约 0.900）。现代软件优先用 \(\bar{X}-S\)。

n	A3	B3	B4	c4
2	2.659	0	3.267	0.7979
3	1.954	0	2.568	0.8862
4	1.628	0	2.266	0.9213
5	1.427	0	2.089	0.9400
6	1.287	0.030	1.970	0.9515
7	1.182	0.118	1.882	0.9594
8	1.099	0.185	1.815	0.9650
9	1.032	0.239	1.761	0.9693
10	0.975	0.284	1.716	0.9727

③ \(\tilde{X}-R\) 图（中位数–极差，稳健 / 现场友好）

用子组中位数替代均值：排序取中值，计算极简；且对离群值稳健（中位数不受极端值扰动）。缺点是检出灵敏度低于均值图。控制限 CL=\(\tilde{X}bar\)，UCL/LCL=\(\tilde{X}bar\pm A4\cdot Rbar\)；R 图同 \(\bar{X}-R\)。

n	2	3	4	5	6	7	8	9	10
A4	1.88	1.19	0.80	0.69	0.55	0.51	0.43	0.41	0.36

④ I–MR 图（n=1，单值–移动极差）

每次只能取 1 个值（破坏性试验、在线 100% 检验、缓慢均匀过程）时使用。MR 为相邻两点差的绝对值。控制限 CL=\(\bar{X}bar\)，UCL/LCL=\(\bar{X}bar\pm E2\cdot MRbar\)；MR 图 CL=MRbar，UCL=\(D4\cdot MRbar\)（LCL=0）。E2=2.660（=3/d2，d2=1.128），D4=3.267。

四种计量图对比速记：\(\bar{X}-R\) 最经典、\(\bar{X}-S\) 大样本更准、\(\tilde{X}-R\) 现场稳健、I–MR 填补 n=1。共同铁律都是「先变异后位置」。下一步看判读准则 \(\to\)

3.1 I–MR 图（单值–移动极差）图种详解

3.1 计量型控制图I–MR 图（单值–移动极差图）

I–MR 图（单值–移动极差图）

Individuals and Moving Range Chart

适用

每次生产只能取得一个值（n = 1）
破坏性试验、化学过程在线仪表等无法或无需分组的场合
生产节奏很慢，相邻两次取样之间已跨过班次 / 批次 / 原料变动

不适用

严重偏态数据（此时可对原始数据作 Box–Cox 变换，或改用非参数控制图）
自相关数据（相邻观测相关会让 \(M\bar{R}\) 严重低估 \(\sigma\)，应改用残差控制图或 EWMA）
能方便取得 n \(\geq\) 2 子组时——子组图的检出力明显更高

特点

假设单值观测值来自正态分布且相互独立。由于每个子组只有 1 个观测值，对过程偏移的灵敏度较低；组内变异只能用「移动极差」估计。

典型场景

破坏性试验（拉力、焊接强度）、批量化工过程、每班只做一次的全尺寸测量。

1原理

I–MR 是 n = 1 场合的标准配置，由两张图配套使用：I 图（个体值 X）看过程位置是否漂移，MR 图（相邻两点之差的绝对值）看过程变异是否稳定。n = 1 时无法用子组内的极差或标准差估计 \(\sigma\)，只能借「移动极差」——相邻两个体值之差——来估计短期变异，这相当于用 n = 2 的极差估计 \(\sigma\)，故取 \(d_{2}\) = 1.128。

2统计量计算

移动极差与 \(\sigma\) 估计

\(MR_{i} = |X_{i} - X_{i-1}|,\quad \hat{\sigma} = \frac{\overline{MR}}{d_{2}} = \frac{\overline{MR}}{1.128}\)

式中　\(M\bar{R}\)移动极差的平均　\(\sigma\)估计由组内变异（\(\bar{R}\) / \(\bar{S}\) / \(M\bar{R}\)）估计的过程标准差　\(d_{2}\)极差均值的分布系数（n = 2 时 1.128），由 \(\bar{R}\) 反推 \(\sigma\)　\(\sigma\)过程（总体）标准差

I 图（单值）

\(CL = \bar{X},\quad UCL = \bar{X} + 3\hat{\sigma} = \bar{X} + 2.660\,\overline{MR},\quad LCL = \bar{X} - 2.660\,\overline{MR}\)

式中　\(M\bar{R}\)移动极差的平均　\(\sigma\)估计由组内变异（\(\bar{R}\) / \(\bar{S}\) / \(M\bar{R}\)）估计的过程标准差　\(\bar{X}\)子组均值（样本均值）　\(\sigma\)过程（总体）标准差　UCL上控制限（Upper Control Limit）　LCL下控制限（Lower Control Limit）　CL中心线（Center Line）

MR 图（移动极差）

\(CL = \overline{MR},\quad UCL = D_{4}\overline{MR} = 3.267\,\overline{MR},\quad LCL = 0\)

式中　\(M\bar{R}\)移动极差的平均　\(D_{4}\)R 图上控制限系数，按 n 查系数表　UCL上控制限（Upper Control Limit）　LCL下控制限（Lower Control Limit）　CL中心线（Center Line）

3绘制过程

展开：完整步骤文字（含公式）

确定合理子组：n = 1 时「子组」就是相邻两次取样，取样间隔应覆盖班次、批次、原料等变异机会
收集 20~25 个以上个体值（Phase I 建立控制限阶段）
逐点计算移动极差 \(MR_i = |X_i - X_{i-1}|\)，共 k \(-\) 1 个
算 \(\bar{X}\) 与 \(\overline{MR}\)，代入上表公式得控制限
先判 MR 图：MR 图失控说明变异不稳，此时 I 图的控制限不可信，不得先解释 I 图
MR 受控后再判 I 图，按 8 条判异准则逐条过
只有可证实特殊原因的点才可剔除，剔除后重算控制限，转入 Phase II 日常监控

4注意点

I 图对突发大偏移灵敏，对 \(\leq\) \(1.5\sigma\) 的小偏移迟钝；需要小偏移检出力时改用 CUSUM / EWMA
单点越界会同时抬高 \(\overline{MR}\) 从而抬高控制限，存在自遮蔽现象——一个极大的点可能「把自己掩护过去」，需人工复核
I 图的控制限刻画的是短期变异，既不能与规格限比较，也不能直接拿它算 Cpk（须先确认受控）

5典型样图

◆ 理想 / 受控状态（I–MR 图（单值–移动极差图））

解读：点子随机分布在 CL 两侧、全部落在控制限内，无规则性排列；MR 图同样受控，说明组内变异稳定。

规则 1：1 点超出 \(3\sigma\)

突发性大偏移，属「一次性」特殊原因：设备突发故障、量具失准、错料、操作失误。I–MR 图对单点大偏移灵敏、对小偏移迟钝；先看 MR 图再看 I 图。

规则 2：连续 9 点位于中心线同侧

过程均值发生阶跃：新批次原料、换班、设备调整、模具更换。I–MR 图对单点大偏移灵敏、对小偏移迟钝；先看 MR 图再看 I 图。

规则 3：连续 6 点递增或递减

渐变型原因：刀具/电极磨损、温度漂移、溶液浓度衰减、操作者疲劳。I–MR 图对单点大偏移灵敏、对小偏移迟钝；先看 MR 图再看 I 图。

规则 4：连续 14 点上下交替

系统性交替：两台设备/两个班次轮流取样，或操作者过度调整（over-control）。I–MR 图对单点大偏移灵敏、对小偏移迟钝；先看 MR 图再看 I 图。

规则 5：连续 3 点中 2 点超出 \(2\sigma\)（同侧）

中等偏移的早期信号，比规则 1 灵敏，常预示均值已开始漂移。I–MR 图对单点大偏移灵敏、对小偏移迟钝；先看 MR 图再看 I 图。

规则 6：连续 5 点中 4 点超出 \(1\sigma\)（同侧）

小偏移的早期信号，先于规则 1/5 报警，需结合过程背景确认。I–MR 图对单点大偏移灵敏、对小偏移迟钝；先看 MR 图再看 I 图。

规则 7：连续 15 点落在 \(1\sigma\) 内（C 区）

变异被人为压小：数据分层（多股流混入同一子组），或控制限算错（用整体 \(\sigma\) 代替组内 \(\sigma\)）。I–MR 图对单点大偏移灵敏、对小偏移迟钝；先看 MR 图再看 I 图。

规则 8：连续 8 点无一点落在 \(1\sigma\) 内

双峰/混合分布：两股不同均值的数据流被混在同一张图上，应先分层再判读。I–MR 图对单点大偏移灵敏、对小偏移迟钝；先看 MR 图再看 I 图。

6案例

某焊装线每班只测 1 件车身关键尺寸（n = 1），用 I–MR 建图。第 12 件的 I 点越出上控制限、而 MR 图受控，指向该次取样时的设备突发异常。

要点：n = 1 场合也能建图；务必先看 MR 再看 I，单点越界通常是「一次性」特殊原因。

\(\leftarrow\) 返回计量型控制图8 条判异准则 \(\to\)选图种 \(\to\)

3.2 \(\bar{X}-R\) 图（均值–极差）图种详解

3.2 计量型控制图\(\bar{X}-R\) 图（均值–极差图）

\(\bar{X}-R\) 图（均值–极差图）

X-bar and R Chart

适用

计量型数据、子组大小 n = 2~9
现场手工描点、需要极简计算的场合
n = 4~5 是最常用的配置，平衡检出力与抽样成本

不适用

n \(\geq\) 10：样本极差 R 的统计效率急剧下降，必须改用 \(\bar{X}-S\) 图
组内变异本身需要高精度估计的场合（S 更优）
已有软件自动计算时——现代软件可直接算 S，\(\bar{X}-R\) 仅保留历史与手工意义

特点

基于中心极限定理：即使个体数据不完全正态，样本均值的分布也近似正态。R 图计算简便，曾被广泛使用；除非手工描点，否则建议在所有 n > 1 时优先考虑 \(\bar{X}-S\) 图。

典型场景

机加工尺寸、注塑重量、灌装量等常规计量特性的现场 SPC。

1原理

\(\bar{X}-R\) 同样两张图配套：\(\bar{X}\) 图用子组均值监控过程位置，R 图用子组极差监控过程变异。控制限的依据是组内变异——子组均值标准误 \(\sigma_\bar{X}\) = \(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\)，而 \(\sigma\) 由平均极差 \(\bar{R}\) 经 \(d_{2}\) 反推得到，因此系数 \(A_{2}\) = \(\frac{3}{d_{2}\sqrt{n}}\) 把两步合并成一步。

2统计量计算

\(\sigma\) 与均值标准误

\(\hat{\sigma} = \frac{\bar{R}}{d_{2}},\qquad \sigma_{\bar{X}} = \frac{\hat{\sigma}}{\sqrt{n}}\)

式中　\(\sigma(\bar{X})\)子组均值的标准误，\(\sigma(\bar{X})\) = \(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\)　\(\sigma\)估计由组内变异（\(\bar{R}\) / \(\bar{S}\) / \(M\bar{R}\)）估计的过程标准差　\(\bar{X}\)子组均值（样本均值）　\(\bar{R}\)各子组极差的平均值　\(d_{2}\)极差均值的分布系数（n = 2 时 1.128），由 \(\bar{R}\) 反推 \(\sigma\)　\(\sigma\)过程（总体）标准差　n子组大小（每个子组的样本量）

\(\bar{X}\) 图

\(CL = \bar{\bar{X}},\quad UCL = \bar{\bar{X}} + A_{2}\bar{R},\quad LCL = \bar{\bar{X}} - A_{2}\bar{R}\)

式中　\(\bar{X}\) 的总平均子组均值的平均，即 \(\bar{X}\) 图的中心线 CL　\(\bar{X}\)子组均值（样本均值）　\(\bar{R}\)各子组极差的平均值　\(A_{2}\)\(\bar{X}\) 图控制限系数，\(A_{2}\) = \(\frac{3}{d_{2}\sqrt{n}}\)　UCL上控制限（Upper Control Limit）　LCL下控制限（Lower Control Limit）　CL中心线（Center Line）

R 图

\(CL = \bar{R},\quad UCL = D_{4}\bar{R},\quad LCL = D_{3}\bar{R}\)

式中　\(\bar{R}\)各子组极差的平均值　\(D_{4}\)R 图上控制限系数，按 n 查系数表　\(D_{3}\)R 图下控制限系数，按 n 查系数表（n \(\leq\) 6 时为 0）　UCL上控制限（Upper Control Limit）　LCL下控制限（Lower Control Limit）　CL中心线（Center Line）

系数来源

\(A_{2} = \frac{3}{d_{2}\sqrt{n}}\)

式中　\(A_{2}\)\(\bar{X}\) 图控制限系数，\(A_{2}\) = \(\frac{3}{d_{2}\sqrt{n}}\)　\(d_{2}\)极差均值的分布系数（n = 2 时 1.128），由 \(\bar{R}\) 反推 \(\sigma\)　n子组大小（每个子组的样本量）

系数表（\(\bar{X}-R\)）

n	\(A_{2}\)	\(d_{2}\)	\(D_{3}\)	\(D_{4}\)
2	1.880	1.128	0	3.267
3	1.023	1.693	0	2.574
4	0.729	2.059	0	2.282
5	0.577	2.326	0	2.114
6	0.483	2.534	0	2.004
7	0.419	2.704	0.076	1.924
8	0.373	2.847	0.136	1.864
9	0.337	2.970	0.184	1.816
10	0.308	3.078	0.223	1.777

3绘制过程

展开：完整步骤文字（含公式）

设计合理子组：组内同质（同批次、同班次、同设备、连续短时取样），组间保留变异机会
固定子组大小 n（常用 4~5），收集 20~25 组以上
每组算 \(\bar{X}_i\) 与 \(R_i = X_{max} - X_{min}\)
算 \(\bar{\bar{X}}\) 与 \(\bar{R}\)，按系数表取 \(A_{2}\)、\(D_{3}\)、\(D_{4}\) 计算控制限
先看 R 图：R 图失控则 \(\bar{X}\) 图的控制限不成立，先解决变异问题
R 图受控后判 \(\bar{X}\) 图，按 8 条判异准则逐条过（\(\bar{X}\) 图用均值标准误划 A/B/C 区）
剔除可证实特殊原因后重算控制限 \(\to\) Phase II

4注意点

顺序不可颠倒：R 图判变异、\(\bar{X}\) 图判位置，R 图失控时 \(\bar{X}\) 图的结论一律不作数
n 越大 \(\bar{X}\) 图检出力越高（\(\sigma_\bar{X}\) = \(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\)），但抽样成本上升；n = 4~5 是常用折中
R 图 LCL 在 n \(\leq\) 6 时为 0（\(D_{3}\) = 0），此时 R 图只能检出变异变大，检不出变小

5典型样图

◆ 理想 / 受控状态（\(\bar{X}-R\) 图（均值–极差图））

解读：\(\bar{X}\) 图与 R 图同时受控：均值无漂移、组内变异稳定，此时控制限可用于日常监控。

规则 1：1 点超出 \(3\sigma\)

突发性大偏移，属「一次性」特殊原因：设备突发故障、量具失准、错料、操作失误。先看 R 图：R 图失控时 \(\bar{X}\) 图的控制限不可信。

规则 2：连续 9 点位于中心线同侧

过程均值发生阶跃：新批次原料、换班、设备调整、模具更换。先看 R 图：R 图失控时 \(\bar{X}\) 图的控制限不可信。

规则 3：连续 6 点递增或递减

渐变型原因：刀具/电极磨损、温度漂移、溶液浓度衰减、操作者疲劳。先看 R 图：R 图失控时 \(\bar{X}\) 图的控制限不可信。

规则 4：连续 14 点上下交替

系统性交替：两台设备/两个班次轮流取样，或操作者过度调整（over-control）。先看 R 图：R 图失控时 \(\bar{X}\) 图的控制限不可信。

规则 5：连续 3 点中 2 点超出 \(2\sigma\)（同侧）

中等偏移的早期信号，比规则 1 灵敏，常预示均值已开始漂移。先看 R 图：R 图失控时 \(\bar{X}\) 图的控制限不可信。

规则 6：连续 5 点中 4 点超出 \(1\sigma\)（同侧）

小偏移的早期信号，先于规则 1/5 报警，需结合过程背景确认。先看 R 图：R 图失控时 \(\bar{X}\) 图的控制限不可信。

规则 7：连续 15 点落在 \(1\sigma\) 内（C 区）

变异被人为压小：数据分层（多股流混入同一子组），或控制限算错（用整体 \(\sigma\) 代替组内 \(\sigma\)）。先看 R 图：R 图失控时 \(\bar{X}\) 图的控制限不可信。

规则 8：连续 8 点无一点落在 \(1\sigma\) 内

双峰/混合分布：两股不同均值的数据流被混在同一张图上，应先分层再判读。先看 R 图：R 图失控时 \(\bar{X}\) 图的控制限不可信。

6案例

机加工外径每 2 小时抽 5 件、共 25 组。R 图第 8 组先越界，说明组内变异不稳——此时 \(\bar{X}\) 图的控制限不可信，须先解决变异问题。

要点：判读顺序不可颠倒：先 R 后 \(\bar{X}\)；R 图失控时 \(\bar{X}\) 图的一切结论都不作数。

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3.3 \(\bar{X}-S\) 图（均值–标准差）图种详解

3.3 计量型控制图\(\bar{X}-S\) 图（均值–标准差图）

\(\bar{X}-S\) 图（均值–标准差图）

X-bar and S Chart

适用

计量型数据、子组大小 n \(\geq\) 10
由软件计算、希望充分利用子组内全部信息的场合
子组内变异本身是重点监控对象时

不适用

n 很小（2~3）且必须手工计算时——R 图更省事
现场无计算工具时（S 需先算方差再开方）

特点

n \(\geq\) 10 时样本极差 R 的统计效率急剧下降，必须改用 S。现代软件已可自动计算 S，因此推荐在所有 n > 1 的情况下优先使用 \(\bar{X}-S\) 图。

典型场景

自动检测线、在线量具、MES 自动采集等高产量且由软件出图的场合。

1原理

与 \(\bar{X}-R\) 同构，只是把「组内变异」的估计量由极差 R 换成标准差 S——S 用到了子组内每一个观测值，信息利用率高于只取两头的 R，尤其在大子组时优势明显。\(\sigma\) 由 \(\bar{S}\) 经 \(c_{4}\) 校正反推（S 是 \(\sigma\) 的有偏估计，\(c_{4}\) < 1 为修正系数）。

2统计量计算

子组标准差与 \(\sigma\) 估计

\(S_{i} = \sqrt{\frac{\sum_{j=1}^{n}(X_{ij}-\bar{X}_{i})^2}{n-1}},\qquad \hat{\sigma} = \frac{\bar{S}}{c_{4}}\)

式中　\(\sigma\)估计由组内变异（\(\bar{R}\) / \(\bar{S}\) / \(M\bar{R}\)）估计的过程标准差　\(\bar{X}\)子组均值（样本均值）　\(\bar{S}\)各子组标准差的平均值　\(c_{4}\)标准差的无偏修正系数（小于 1），由 \(\bar{S}\) 反推 \(\sigma\)　\(\sigma\)过程（总体）标准差　n子组大小（每个子组的样本量）

\(\bar{X}\) 图

\(CL = \bar{\bar{X}},\quad UCL = \bar{\bar{X}} + A_{3}\bar{S},\quad LCL = \bar{\bar{X}} - A_{3}\bar{S}\)

式中　\(\bar{X}\) 的总平均子组均值的平均，即 \(\bar{X}\) 图的中心线 CL　\(\bar{X}\)子组均值（样本均值）　\(\bar{S}\)各子组标准差的平均值　\(A_{3}\)\(\bar{X}-S\) 图中 \(\bar{X}\) 图的控制限系数　UCL上控制限（Upper Control Limit）　LCL下控制限（Lower Control Limit）　CL中心线（Center Line）

S 图

\(CL = \bar{S},\quad UCL = B_{4}\bar{S},\quad LCL = B_{3}\bar{S}\)

式中　\(\bar{S}\)各子组标准差的平均值　\(B_{4}\)S 图上控制限系数，按 n 查系数表　\(B_{3}\)S 图下控制限系数，按 n 查系数表（n \(\geq\) 6 才大于 0）　UCL上控制限（Upper Control Limit）　LCL下控制限（Lower Control Limit）　CL中心线（Center Line）

系数表（\(\bar{X}-S\)）

n	\(A_{3}\)	\(c_{4}\)	\(B_{3}\)	\(B_{4}\)
2	2.659	0.7979	0	3.267
3	1.954	0.8862	0	2.568
4	1.628	0.9213	0	2.266
5	1.427	0.9400	0	2.089
6	1.287	0.9515	0.030	1.970
7	1.182	0.9594	0.118	1.882
8	1.099	0.9650	0.185	1.815
9	1.032	0.9693	0.239	1.761
10	0.975	0.9727	0.284	1.716

3绘制过程

展开：完整步骤文字（含公式）

设计合理子组，固定子组大小 n（\(\geq\) 10），收集 20~25 组以上
每组算 \(\bar{X}_i\) 与 \(S_i\)（注意分母用 n \(-\) 1）
算 \(\bar{\bar{X}}\) 与 \(\bar{S}\)，按系数表取 \(A_{3}\)、\(B_{3}\)、\(B_{4}\)
先判 S 图，再判 \(\bar{X}\) 图
按 8 条判异准则逐条过；剔除可证实特殊原因后重算控制限 \(\to\) Phase II

4注意点

S 图的 LCL 在 n \(\geq\) 6 后才为正（\(B_{3}\) > 0），此前只能检出变异变大
n 从 5 提到 10 时 \(\sigma_\bar{X}\) 缩小约 30%，\(\bar{X}\) 图检出力显著提升——这是改用大子组的主要收益
同一组数据分别用 R 与 S 建限，结果会略有差异，属正常；不要混用两个估计量

5典型样图

◆ 理想 / 受控状态（\(\bar{X}-S\) 图（均值–标准差图））

解读：\(\bar{X}\) 图与 S 图同时受控；n = 10 时用 S 估计组内变异，效率高于 R。

规则 1：1 点超出 \(3\sigma\)

突发性大偏移，属「一次性」特殊原因：设备突发故障、量具失准、错料、操作失误。先看 S 图；n \(\geq\) 10 时 R 图效率已不足，本图为正解。

规则 2：连续 9 点位于中心线同侧

过程均值发生阶跃：新批次原料、换班、设备调整、模具更换。先看 S 图；n \(\geq\) 10 时 R 图效率已不足，本图为正解。

规则 3：连续 6 点递增或递减

渐变型原因：刀具/电极磨损、温度漂移、溶液浓度衰减、操作者疲劳。先看 S 图；n \(\geq\) 10 时 R 图效率已不足，本图为正解。

规则 4：连续 14 点上下交替

系统性交替：两台设备/两个班次轮流取样，或操作者过度调整（over-control）。先看 S 图；n \(\geq\) 10 时 R 图效率已不足，本图为正解。

规则 5：连续 3 点中 2 点超出 \(2\sigma\)（同侧）

中等偏移的早期信号，比规则 1 灵敏，常预示均值已开始漂移。先看 S 图；n \(\geq\) 10 时 R 图效率已不足，本图为正解。

规则 6：连续 5 点中 4 点超出 \(1\sigma\)（同侧）

小偏移的早期信号，先于规则 1/5 报警，需结合过程背景确认。先看 S 图；n \(\geq\) 10 时 R 图效率已不足，本图为正解。

规则 7：连续 15 点落在 \(1\sigma\) 内（C 区）

变异被人为压小：数据分层（多股流混入同一子组），或控制限算错（用整体 \(\sigma\) 代替组内 \(\sigma\)）。先看 S 图；n \(\geq\) 10 时 R 图效率已不足，本图为正解。

规则 8：连续 8 点无一点落在 \(1\sigma\) 内

双峰/混合分布：两股不同均值的数据流被混在同一张图上，应先分层再判读。先看 S 图；n \(\geq\) 10 时 R 图效率已不足，本图为正解。

6案例

自动检测线每组 12 件 \(\times\) 25 组，用 \(\bar{X}-S\) 图。S 图受控、\(\bar{X}\) 图第 20 组越界，判为均值阶跃，追查发现是换料批次。

要点：n \(\geq\) 10 应用 \(\bar{X}-S\) 而非 \(\bar{X}-R\)：S 用尽子组内全部信息，检出力更高。

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3.4 \(\tilde{X}-R\) 图（中位数–极差）图种详解

3.4 计量型控制图\(\tilde{X}-R\) 图（中位数–极差图）

\(\tilde{X}-R\) 图（中位数–极差图）

Median and R Chart

适用

一线操作人员缺乏统计知识、需要现场快速判断
只需排序取中间值、不希望做除法与开方的场合
个别异常值较多、希望不被极端值牵动时

不适用

追求检出力时——中位数的信息利用率约 64%~78%，低于均值
由软件自动出图时（没有省事的优势，只剩检出力损失）
子组 n 为偶数时（中位数需取中间两值的平均，反而更麻烦）

特点

以子组中位数替代均值，计算简单（只需排序取中间值），且不受个别异常值干扰。当一线操作人员缺乏统计知识或需要现场快速判断时，\(\tilde{X}-R\) 图仍是实用选择。

典型场景

车间看板手绘控制图、操作工自检、快速换型后的首件确认。

1原理

把 \(\bar{X}\) 换成子组中位数 \(\tilde{X}\)：只需把子组内 n 个值排序取中间一个，连加法都不必做。代价是中位数的标准误大于均值（\(\sigma_\tilde{X}\) > \(\sigma_\bar{X}\)），因此控制限更宽、检出力更低；收益是中位数对个别离群值不敏感（稳健）。专用系数 \(A_{5}\) 把 \(\sigma_\tilde{X}\) 与 \(\bar{R}\) 的关系合并为一步。

2统计量计算

中位数标准误与系数关系

\(\sigma_{\tilde{X}} = \frac{A_{5}\,\bar{R}}{3},\qquad A_{5} = \frac{3\,\sigma_{\tilde{X}}}{d_{2}\,\sigma}\)

式中　\(\sigma(\tilde{X})\)子组中位数的标准误（大于 \(\sigma(\bar{X})\)）　\(\tilde{X}\)子组中位数　\(\bar{R}\)各子组极差的平均值　\(A_{5}\)\(\tilde{X}-R\) 图中位数图的控制限系数　\(d_{2}\)极差均值的分布系数（n = 2 时 1.128），由 \(\bar{R}\) 反推 \(\sigma\)　\(\sigma\)过程（总体）标准差

\(\tilde{X}\) 图

\(CL = \bar{\tilde{X}},\quad UCL = \bar{\tilde{X}} + A_{5}\bar{R},\quad LCL = \bar{\tilde{X}} - A_{5}\bar{R}\)

式中　\(\bar{\tilde{X}}\)各子组中位数的平均（\(\tilde{X}\) 图中心线）　\(\tilde{X}\)子组中位数　\(\bar{R}\)各子组极差的平均值　\(A_{5}\)\(\tilde{X}-R\) 图中位数图的控制限系数　UCL上控制限（Upper Control Limit）　LCL下控制限（Lower Control Limit）　CL中心线（Center Line）

R 图

\(CL = \bar{R},\quad UCL = D_{4}\bar{R},\quad LCL = D_{3}\bar{R}\)

系数表（\(\tilde{X}-R\)，\(A_{5}\) 为中位数图专用系数）

n	\(A_{5}\)	\(D_{3}\)	\(D_{4}\)
2	1.880	0	3.267
3	1.187	0	2.574
4	0.796	0	2.282
5	0.691	0	2.114
6	0.548	0	2.004
7	0.508	0.076	1.924
8	0.433	0.136	1.864
9	0.412	0.184	1.816
10	0.362	0.223	1.777

3绘制过程

展开：完整步骤文字（含公式）

固定奇数子组大小 n（常用 3 或 5），收集 20~25 组以上
每组把 n 个值排序，取中间一个得 \(\tilde{X}_i\)，同时算 \(R_i\)
算 \(\bar{\tilde{X}}\) 与 \(\bar{R}\)，按 \(A_{5}\) 系数表取 \(A_{5}\)（n = 5 时为 0.691）
先判 R 图，再判 \(\tilde{X}\) 图
判异准则与 \(\bar{X}\) 图相同；但因控制限更宽，小偏移更容易漏判，必要时补充 CUSUM / EWMA

4注意点

\(\tilde{X}\) 图控制限比 \(\bar{X}\) 图更宽，同样的图上「看起来正常」不等于真的没有偏移
n = 3 时中位数 \(\approx\) 中位数即中间值，效率损失最大（\(A_{5}\) = 1.187）；n \(\geq\) 7 后损失趋缓
现场手绘时用 \(\tilde{X}-R\) 完全够用；正式的过程能力分析请回到 \(\bar{X}-R\) / \(\bar{X}-S\) 的数据

5典型样图

◆ 理想 / 受控状态（\(\tilde{X}-R\) 图（中位数–极差图））

解读：中位数图与极差图均无异常，现场可放心按「无红点即继续生产」的简化规则执行。

规则 1：1 点超出 \(3\sigma\)

突发性大偏移，属「一次性」特殊原因：设备突发故障、量具失准、错料、操作失误。检出力低于 \(\bar{X}-R\)（中位数信息利用率约 64%~78%），只用于现场快速判断。

规则 2：连续 9 点位于中心线同侧

过程均值发生阶跃：新批次原料、换班、设备调整、模具更换。检出力低于 \(\bar{X}-R\)（中位数信息利用率约 64%~78%），只用于现场快速判断。

规则 3：连续 6 点递增或递减

渐变型原因：刀具/电极磨损、温度漂移、溶液浓度衰减、操作者疲劳。检出力低于 \(\bar{X}-R\)（中位数信息利用率约 64%~78%），只用于现场快速判断。

规则 4：连续 14 点上下交替

系统性交替：两台设备/两个班次轮流取样，或操作者过度调整（over-control）。检出力低于 \(\bar{X}-R\)（中位数信息利用率约 64%~78%），只用于现场快速判断。

规则 5：连续 3 点中 2 点超出 \(2\sigma\)（同侧）

中等偏移的早期信号，比规则 1 灵敏，常预示均值已开始漂移。检出力低于 \(\bar{X}-R\)（中位数信息利用率约 64%~78%），只用于现场快速判断。

规则 6：连续 5 点中 4 点超出 \(1\sigma\)（同侧）

小偏移的早期信号，先于规则 1/5 报警，需结合过程背景确认。检出力低于 \(\bar{X}-R\)（中位数信息利用率约 64%~78%），只用于现场快速判断。

规则 7：连续 15 点落在 \(1\sigma\) 内（C 区）

变异被人为压小：数据分层（多股流混入同一子组），或控制限算错（用整体 \(\sigma\) 代替组内 \(\sigma\)）。检出力低于 \(\bar{X}-R\)（中位数信息利用率约 64%~78%），只用于现场快速判断。

规则 8：连续 8 点无一点落在 \(1\sigma\) 内

双峰/混合分布：两股不同均值的数据流被混在同一张图上，应先分层再判读。检出力低于 \(\bar{X}-R\)（中位数信息利用率约 64%~78%），只用于现场快速判断。

6案例

车间看板由操作工手绘，每组 5 件取中位数。中位数图控制限明显偏宽，一个约 \(1.2\sigma\) 的偏移始终没被报出。

要点：\(\tilde{X}\) 图限更宽、检出力更低；正式的过程能力分析要回到 \(\bar{X}-R\) / \(\bar{X}-S\) 的数据。

\(\leftarrow\) 返回计量型控制图8 条判异准则 \(\to\)选图种 \(\to\)

计数型：p / np / c / u建\(\cdot\)计数

计数型控制图：总述

计数型控制图用于只能判定合格 / 不合格或只能数缺陷个数的场合，信息量低于计量型，但采集成本低、现场易执行。p 图与 np 图基于二项分布，要求每件产品的「不合格」判定独立、概率恒定：p 图的控制限随样本量 n 变化，np 图控制限恒定。特别注意：若过程不合格品率 p 非常低，为使每个子组平均至少出现 1 个不合格品，需要的样本量 n 可能极大（n \(\geq\) 5/p），此时应考虑改用 g 图或直接使用计量型控制图。c 图与 u 图基于泊松分布，要求缺陷独立且随机发生，且缺陷发生的机会（面积、长度、复杂度）尽量恒定：c 图适用于检查单位恒定，u 图适用于检查单位变化。与 p 图类似，当平均缺陷数很小时，c 图的下控制限可能为零，检测能力不足，需考虑替代方案。

4.1 p 图（不合格品率）

每日出货批次不合格率、客服工单差错率、来料检验批不合格率。

进入详解：原理 / 统计量 / 绘制 / 注意点 / 典型样图 \(\to\)

4.2 np 图（不合格品数）

每日固定抽检 200 件的不良件数、每班固定 100 台的返修台数。

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4.3 c 图（缺陷数）

每台发动机的装配缺陷数、每块 PCB 的焊点数、每张钢板的表面划伤数。

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4.4 u 图（单位缺陷数）

每百米布匹的疵点数、每平方米涂层的针孔数、每千行代码的缺陷数。

进入详解：原理 / 统计量 / 绘制 / 注意点 / 典型样图 \(\to\)

计数型数据分两类：计件（合格/不合格，二项）\(\to\) p/np 图；计点（缺陷数，泊松）\(\to\) c/u 图。不能套用 \(\bar{X}-R\) 的系数，其控制限基于二项/泊松分布，且常随样本量变化呈阶梯状。

图	数据类型	分布	样本/单位	监控量	控制限
p	计件(率)	二项	可变化	不合格品率 p	随 n 阶梯变化
np	计件(数)	二项	须恒定	不合格品数 np	恒定
c	计点(数)	泊松	须恒定	缺陷数 c	恒定
u	计点(密度)	泊松	可变化	单位缺陷数 u	随单位阶梯变化

核心公式

图	CL	UCL / LCL	注
p	\(\bar{p}\)	\(\bar{p}\) \(\pm\) \(3\sqrt{\bar{p}(1-\bar{p})/n_{i}}\)	LCL<0 取 0；\(n_{i}\) 变 \(\to\) 阶梯限
np	\(n\bar{p}\)	\(n\bar{p}\) \(\pm\) \(3\sqrt{n\bar{p}(1-\bar{p})}\)	n 恒定
c	\(\bar{c}\)	\(\bar{c}\) \(\pm\) \(3\sqrt{\bar{c}}\)	泊松 \(\sigma\)=\(\sqrt{\lambda}\)；LCL<0 取 0
u	\(\bar{u}\)	\(\bar{u}\) \(\pm\) \(3\sqrt{\bar{u}/n_{i}}\)	\(n_{i}\)=检验单位，可变

假设与样本量近似

独立、概率恒定：每个单位合格判定独立（p/np）；缺陷发生随机独立（c/u）。
样本量近似：p 图要求每个子组平均至少约 1 个不合格品，即 n \(\geq\) 5/p；c 图要求 \(\bar{c}\) \(\geq\) 1。否则灵敏度极低。
极低 p（ppm 级）：所需 n 大到不现实 \(\to\) 改用计量型或稀有事件图（g/t）。
计数图通常不做过程能力：以平均不合格品率 / DPMO 作绩效指标，灵敏度低于计量型。

4.1 p 图（不合格品率）图种详解

4.1 计数型控制图p 图（不合格品率图）

p 图（不合格品率图）

p Chart (Fraction Nonconforming)

适用

数据是不合格品率 / 比例，且各子组样本量 n 会变
每天的产量、送检批量不稳定的场合
需要按「率」而不是「数」来汇报和管理时

不适用

样本量恒定时——用 np 图更直观（控制限为水平直线）
不合格品率 p 极低时：为保证每个子组平均至少出现 1 个不合格品，需要 n \(\geq\) 5/p，样本量可能大到不可行，此时应改用 g 图或直接上计量型控制图
不合格判定不独立、或判定标准随时间漂移时

特点

基于二项分布：要求每个产品的「不合格」判定独立、概率恒定。p 图的控制限随样本量 n 变化，呈锯齿状，这是它最显著的形态特征。

典型场景

每日出货批次不合格率、客服工单差错率、来料检验批不合格率。

1原理

p 图监控的是不合格品所占的比例。每件产品是一次伯努利试验（合格 / 不合格），子组内不合格品数 D 服从二项分布 B(n, p)，其标准误为 \(\sqrt{p(1-p)/n}--\)随 n 变化，所以 n 变动时控制限必然是起伏的折线，判异时须与同一子组的限值比较。

2统计量计算

子组不合格品率

\(p_{i} = \frac{D_{i}}{n_{i}}\)

式中　\(n_{i}\)第 i 个子组的样本量（可随组变化）　\(D_{i}\)第 i 个子组的不合格品数　n子组大小（每个子组的样本量）　p不合格 / 事件概率，或变量个数

中心线

\(\bar{p} = \frac{\sum D_{i}}{\sum n_{i}}\)

式中　\(\bar{p}\)合并的不合格品率（p 图中心线）　\(n_{i}\)第 i 个子组的样本量（可随组变化）　\(D_{i}\)第 i 个子组的不合格品数　n子组大小（每个子组的样本量）　p不合格 / 事件概率，或变量个数

控制限（随 n 变化）

\(UCL_{i} = \bar{p} + 3\sqrt{\frac{\bar{p}(1-\bar{p})}{n_{i}}},\qquad LCL_{i} = \max\left(0,\ \bar{p} - 3\sqrt{\frac{\bar{p}(1-\bar{p})}{n_{i}}}\right)\)

式中　\(\bar{p}\)合并的不合格品率（p 图中心线）　\(n_{i}\)第 i 个子组的样本量（可随组变化）　UCL上控制限（Upper Control Limit）　LCL下控制限（Lower Control Limit）　n子组大小（每个子组的样本量）　p不合格 / 事件概率，或变量个数

样本量充足条件

\(n_i \bar{p} \ge 5\ \text{且}\ n_i(1-\bar{p}) \ge 5\)

式中　\(\bar{p}\)合并的不合格品率（p 图中心线）　\(n_{i}\)第 i 个子组的样本量（可随组变化）　n子组大小（每个子组的样本量）　p不合格 / 事件概率，或变量个数

3绘制过程

展开：完整步骤文字（含公式）

明确「不合格」的判定准则并固化为作业标准（判据不稳定则图无意义）
记录每个子组的抽检量 n_i 与不合格品数 D_i
算 p_i = D_i/n_i 与合并的 \(\bar{p}\)
按各组 n_i 分别算 UCL_i / LCL_i（不是一条直线）
把逐点限值与点画在同一张图上（软件会自动画出锯齿状限值）
按 8 条判异准则判读；注意判定必须针对同组的限值
若某组 n_i 过小导致限值异常宽，考虑合并相邻小批或改用不等样本量的专门处理

4注意点

限值锯齿是正常现象，不是画图出错；n 大的组限值窄、n 小的组限值宽
LCL 常被截为 0（尤其 \(\bar{p}\) 较小时），此时 p 图只能检出「变坏」，检不出「变好」
\(\bar{p}\) 很低时（如 < 0.001）二项近似失效、且几乎没有不合格品可数，应改用 g 图（稀有事件）
p 图与 np 图二选一：n 变用 p，n 定用 np，不要两张都画

5典型样图

◆ 理想 / 受控状态（p 图（不合格品率图））

解读：各点虽受 n 影响呈锯齿状限值，但均落在各自限值内，且无连续同侧/趋势，过程不合格品率稳定。

规则 1：1 点超出 \(3\sigma\)

突发性大偏移，属「一次性」特殊原因：设备突发故障、量具失准、错料、操作失误。控制限随 n 变化呈锯齿状，判异必须与同一子组的限值比较；\(n\bar{p}\) < 5 时近似失效，应改用 g 图。

规则 2：连续 9 点位于中心线同侧

过程均值发生阶跃：新批次原料、换班、设备调整、模具更换。控制限随 n 变化呈锯齿状，判异必须与同一子组的限值比较；\(n\bar{p}\) < 5 时近似失效，应改用 g 图。

规则 3：连续 6 点递增或递减

渐变型原因：刀具/电极磨损、温度漂移、溶液浓度衰减、操作者疲劳。控制限随 n 变化呈锯齿状，判异必须与同一子组的限值比较；\(n\bar{p}\) < 5 时近似失效，应改用 g 图。

规则 4：连续 14 点上下交替

系统性交替：两台设备/两个班次轮流取样，或操作者过度调整（over-control）。控制限随 n 变化呈锯齿状，判异必须与同一子组的限值比较；\(n\bar{p}\) < 5 时近似失效，应改用 g 图。

规则 5：连续 3 点中 2 点超出 \(2\sigma\)（同侧）

中等偏移的早期信号，比规则 1 灵敏，常预示均值已开始漂移。控制限随 n 变化呈锯齿状，判异必须与同一子组的限值比较；\(n\bar{p}\) < 5 时近似失效，应改用 g 图。

规则 6：连续 5 点中 4 点超出 \(1\sigma\)（同侧）

小偏移的早期信号，先于规则 1/5 报警，需结合过程背景确认。控制限随 n 变化呈锯齿状，判异必须与同一子组的限值比较；\(n\bar{p}\) < 5 时近似失效，应改用 g 图。

规则 7：连续 15 点落在 \(1\sigma\) 内（C 区）

变异被人为压小：数据分层（多股流混入同一子组），或控制限算错（用整体 \(\sigma\) 代替组内 \(\sigma\)）。控制限随 n 变化呈锯齿状，判异必须与同一子组的限值比较；\(n\bar{p}\) < 5 时近似失效，应改用 g 图。

规则 8：连续 8 点无一点落在 \(1\sigma\) 内

双峰/混合分布：两股不同均值的数据流被混在同一张图上，应先分层再判读。控制限随 n 变化呈锯齿状，判异必须与同一子组的限值比较；\(n\bar{p}\) < 5 时近似失效，应改用 g 图。

6案例

每日送检量在 400~520 件之间波动，p 图控制限呈锯齿状。某日样本量小、点正好落在较宽的限内，改用「与同组限比较」后才正确判稳。

要点：p 图限随 n 变，判异必须与同一子组的限值比较；锯齿是正常现象，不是画图出错。

\(\leftarrow\) 返回计数型控制图8 条判异准则 \(\to\)选图种 \(\to\)

4.2 np 图（不合格品数）图种详解

4.2 计数型控制图np 图（不合格品数图）

np 图（不合格品数图）

np Chart (Number Nonconforming)

适用

数据是不合格品数，且各子组样本量 n 恒定
希望直接向现场报告「几件不良」而非百分比的场合
自动化全检、每批抽检数量固定的场合

不适用

n 会变时必须改用 p 图（np 图的控制限按固定 n 计算，n 一变就失效）
\(n\bar{p}\) < 5 时（二项近似失效，图会给出误导性的窄限）
不合格判定标准不稳定时

特点

同样基于二项分布。与 p 图的差别只在坐标：np 图画的是「件数」，因此只要 n 恒定，控制限就是水平直线，现场更易读。

典型场景

每日固定抽检 200 件的不良件数、每班固定 100 台的返修台数。

1原理

np 图是 p 图在 n 恒定时的等价形式：把不合格品率乘回样本量，即得不合格品数。由于 n 不变，标准误 \(\sqrt{n\bar{p}(1-\bar{p})}\) 为常数，控制限因此是水平直线。

2统计量计算

中心线

\(CL = n\bar{p} = \overline{np}\)

式中　\(n\bar{p}\)各批不合格品数的平均（np 图中心线）　\(\bar{p}\)合并的不合格品率（p 图中心线）　CL中心线（Center Line）　n子组大小（每个子组的样本量）　p不合格 / 事件概率，或变量个数

控制限（水平直线）

\(UCL = \overline{np} + 3\sqrt{\overline{np}(1-\bar{p})},\qquad LCL = \max\left(0,\ \overline{np} - 3\sqrt{\overline{np}(1-\bar{p})}\right)\)

式中　\(n\bar{p}\)各批不合格品数的平均（np 图中心线）　\(\bar{p}\)合并的不合格品率（p 图中心线）　UCL上控制限（Upper Control Limit）　LCL下控制限（Lower Control Limit）　p不合格 / 事件概率，或变量个数

与 p 图的关系

\(np = n \cdot p,\qquad UCL_{np} = n \cdot UCL_{p}\)

式中　UCL上控制限（Upper Control Limit）　n子组大小（每个子组的样本量）　p不合格 / 事件概率，或变量个数

3绘制过程

展开：完整步骤文字（含公式）

确认抽检量 n 真正恒定（任何一次补抽 / 漏检都会破坏前提）
记录每批的不合格品数 D_i，收集 20~25 批以上
算 \(\overline{np}\) 与 \(\bar{p} = \overline{np}/n\)
算水平控制限 UCL / LCL
按 8 条判异准则判读；判读与计量型图完全一致
若后续 n 必须变动，整体切换到 p 图

4注意点

前提是 n 恒定——只要有一批数量不同，该批的点在图上就不可比
\(n\bar{p}\) 通常要求 \(\geq\) 5；若平均每批只有 1~2 件不良，图的检出力很低，应考虑放大抽检量或改用 g 图
LCL 为 0 时，图只能检出不良增多，无法确认改善——这一点向管理层汇报时要说清楚

5典型样图

◆ 理想 / 受控状态（np 图（不合格品数图））

解读：不合格品数围绕 \(n\bar{p}\) 随机波动，全部落在水平控制限内。

规则 1：1 点超出 \(3\sigma\)

突发性大偏移，属「一次性」特殊原因：设备突发故障、量具失准、错料、操作失误。样本量必须恒定；若 n 会变，改用 p 图。

规则 2：连续 9 点位于中心线同侧

过程均值发生阶跃：新批次原料、换班、设备调整、模具更换。样本量必须恒定；若 n 会变，改用 p 图。

规则 3：连续 6 点递增或递减

渐变型原因：刀具/电极磨损、温度漂移、溶液浓度衰减、操作者疲劳。样本量必须恒定；若 n 会变，改用 p 图。

规则 4：连续 14 点上下交替

系统性交替：两台设备/两个班次轮流取样，或操作者过度调整（over-control）。样本量必须恒定；若 n 会变，改用 p 图。

规则 5：连续 3 点中 2 点超出 \(2\sigma\)（同侧）

中等偏移的早期信号，比规则 1 灵敏，常预示均值已开始漂移。样本量必须恒定；若 n 会变，改用 p 图。

规则 6：连续 5 点中 4 点超出 \(1\sigma\)（同侧）

小偏移的早期信号，先于规则 1/5 报警，需结合过程背景确认。样本量必须恒定；若 n 会变，改用 p 图。

规则 7：连续 15 点落在 \(1\sigma\) 内（C 区）

变异被人为压小：数据分层（多股流混入同一子组），或控制限算错（用整体 \(\sigma\) 代替组内 \(\sigma\)）。样本量必须恒定；若 n 会变，改用 p 图。

规则 8：连续 8 点无一点落在 \(1\sigma\) 内

双峰/混合分布：两股不同均值的数据流被混在同一张图上，应先分层再判读。样本量必须恒定；若 n 会变，改用 p 图。

6案例

每班固定全检 200 件，np 图控制限为水平直线。某班出现 12 件不良（越 UCL），追查到该班设备参数漂移。

要点：只有 n 恒定时才用 np 图；限为直线、现场最易读，但 n 一变该图立即失效。

\(\leftarrow\) 返回计数型控制图8 条判异准则 \(\to\)选图种 \(\to\)

4.3 c 图（缺陷数）图种详解

4.3 计数型控制图c 图（缺陷数图）

c 图（缺陷数图）

c Chart (Number of Defects)

适用

数据是缺陷数（一件产品上可有多个缺陷），且检查单位恒定
每批固定检查 100 台、每卷固定检查 100 米等场合
缺陷机会面积 / 长度 / 复杂度基本不变时

不适用

检查单位会变时改用 u 图
\(\bar{c}\) 很小（< 5）时：下控制限常为 0，检出力不足
缺陷之间存在聚集 / 传染性（不独立）时——泊松假设不成立

特点

基于泊松分布：要求缺陷独立且随机发生，且缺陷发生的机会（面积、长度、复杂度）应尽量恒定。c 图检查单位恒定，控制限为水平直线。

典型场景

每台发动机的装配缺陷数、每块 PCB 的焊点数、每张钢板的表面划伤数。

1原理

与 np 图的区别在于「数的是缺陷而不是不合格品」：一件产品上可以有 0、1、2…个缺陷，缺陷数服从泊松分布，其方差等于均值（\(\sigma\) = \(\sqrt{\bar{c}}\)）——这是泊松图的独有特征，也因此控制限只由 \(\bar{c}\) 一个参数决定。

2统计量计算

中心线

\(CL = \bar{c} = \frac{\sum c_{i}}{k}\)

式中　\(\bar{c}\)平均缺陷数（c 图中心线）　\(c_{i}\)第 i 个单位的缺陷数　CL中心线（Center Line）

控制限

\(UCL = \bar{c} + 3\sqrt{\bar{c}},\qquad LCL = \max\left(0,\ \bar{c} - 3\sqrt{\bar{c}}\right)\)

式中　\(\bar{c}\)平均缺陷数（c 图中心线）　UCL上控制限（Upper Control Limit）　LCL下控制限（Lower Control Limit）

泊松特征

\(\sigma_{c} = \sqrt{\bar{c}}\)

式中　\(\bar{c}\)平均缺陷数（c 图中心线）　\(\sigma\)过程（总体）标准差

3绘制过程

展开：完整步骤文字（含公式）

固定检查单位（如「每台」「每 100 米」），并写进检验规程
记录每个单位上的缺陷数 c_i，收集 20~25 个单位以上
算 \(\bar{c}\) 与控制限
按 8 条判异准则判读
若检查单位必须变动，切换到 u 图

4注意点

缺陷 \(\neq\) 不合格品：一台设备有 3 个缺陷仍是 1 件不合格品，两者要分开统计
\(\bar{c}\) 很小时 LCL 为 0，图只能检出恶化；此时应增大检查单位（如把 10 台合并为 1 个检查单位）提高 \(\bar{c}\)
若数据出现过分散（方差远大于均值），说明缺陷有聚集性，泊松假设不成立，应改用 u 图或分层

5典型样图

◆ 理想 / 受控状态（c 图（缺陷数图））

解读：缺陷数围绕 \(\bar{c}\) 随机波动，符合泊松预期（方差\(\approx\)均值）。

规则 1：1 点超出 \(3\sigma\)

突发性大偏移，属「一次性」特殊原因：设备突发故障、量具失准、错料、操作失误。要求检查单位恒定；\(\bar{c}\) 过小（< 5）时下控限常为 0，检出力不足。

规则 2：连续 9 点位于中心线同侧

过程均值发生阶跃：新批次原料、换班、设备调整、模具更换。要求检查单位恒定；\(\bar{c}\) 过小（< 5）时下控限常为 0，检出力不足。

规则 3：连续 6 点递增或递减

渐变型原因：刀具/电极磨损、温度漂移、溶液浓度衰减、操作者疲劳。要求检查单位恒定；\(\bar{c}\) 过小（< 5）时下控限常为 0，检出力不足。

规则 4：连续 14 点上下交替

系统性交替：两台设备/两个班次轮流取样，或操作者过度调整（over-control）。要求检查单位恒定；\(\bar{c}\) 过小（< 5）时下控限常为 0，检出力不足。

规则 5：连续 3 点中 2 点超出 \(2\sigma\)（同侧）

中等偏移的早期信号，比规则 1 灵敏，常预示均值已开始漂移。要求检查单位恒定；\(\bar{c}\) 过小（< 5）时下控限常为 0，检出力不足。

规则 6：连续 5 点中 4 点超出 \(1\sigma\)（同侧）

小偏移的早期信号，先于规则 1/5 报警，需结合过程背景确认。要求检查单位恒定；\(\bar{c}\) 过小（< 5）时下控限常为 0，检出力不足。

规则 7：连续 15 点落在 \(1\sigma\) 内（C 区）

变异被人为压小：数据分层（多股流混入同一子组），或控制限算错（用整体 \(\sigma\) 代替组内 \(\sigma\)）。要求检查单位恒定；\(\bar{c}\) 过小（< 5）时下控限常为 0，检出力不足。

规则 8：连续 8 点无一点落在 \(1\sigma\) 内

双峰/混合分布：两股不同均值的数据流被混在同一张图上，应先分层再判读。要求检查单位恒定；\(\bar{c}\) 过小（< 5）时下控限常为 0，检出力不足。

6案例

每台发动机记录装配缺陷数，固定检查 100 台；\(\bar{c}\) = 20。第 19 台缺陷数达 34 越界，定位到某装配工位异常。

要点：缺陷 \(\neq\) 不合格品；泊松图的特征是方差 = 均值，控制限只由 \(\bar{c}\) 决定。

\(\leftarrow\) 返回计数型控制图8 条判异准则 \(\to\)选图种 \(\to\)

4.4 u 图（单位缺陷数）图种详解

4.4 计数型控制图u 图（单位缺陷数图）

u 图（单位缺陷数图）

u Chart (Defects per Unit)

适用

数据是缺陷数，但检查单位（面积 / 长度 / 批量）会变
每天检验的织物米数不同、每批生产面积不同
需要在不同规模的产品之间做公平比较时

不适用

检查单位恒定时用 c 图更简洁（水平限值）
\(\bar{u}\cdot a\) 过小（每单位的平均缺陷数太少）时近似失效

特点

同样基于泊松分布，但先按检查单位大小归一化。控制限随检查单位 a 变化，与 p 图一样呈锯齿状。

典型场景

每百米布匹的疵点数、每平方米涂层的针孔数、每千行代码的缺陷数。

1原理

u = c/a 把缺陷数除以检查单位大小，使不同规模的单位可比。由于每组的 a 不同，标准误 \(\sqrt{\frac{\bar{u}}{a}}\) 也随之变化，控制限因此起伏。

2统计量计算

单位缺陷数

\(u_{i} = \frac{c_{i}}{a_{i}}\)

式中　\(a_{i}\)第 i 个子组的检查单位大小（面积 / 长度 / 批量）　\(c_{i}\)第 i 个单位的缺陷数

中心线

\(\bar{u} = \frac{\sum c_{i}}{\sum a_{i}}\)

式中　\(\bar{u}\)平均单位缺陷数（u 图中心线）　\(a_{i}\)第 i 个子组的检查单位大小（面积 / 长度 / 批量）　\(c_{i}\)第 i 个单位的缺陷数

控制限（随 a 变化）

\(UCL_{i} = \bar{u} + 3\sqrt{\frac{\bar{u}}{a_{i}}},\qquad LCL_{i} = \max\left(0,\ \bar{u} - 3\sqrt{\frac{\bar{u}}{a_{i}}}\right)\)

式中　\(\bar{u}\)平均单位缺陷数（u 图中心线）　\(a_{i}\)第 i 个子组的检查单位大小（面积 / 长度 / 批量）　UCL上控制限（Upper Control Limit）　LCL下控制限（Lower Control Limit）

3绘制过程

展开：完整步骤文字（含公式）

明确检查单位 a 的度量口径（米、平方米、千行…）
记录每组的 c_i 与 a_i
算 u_i 与合并的 \(\bar{u}\)
按各组 a_i 分别算限值（锯齿状）
按 8 条判异准则判读，判定须对位到同组限值

4注意点

a 越大的组限值越窄——大批量的一批反而更容易报警，这是归一化后的正常现象
\(\bar{u}\) 本身很小（如 < 1）时，先考虑把检查单位放大（如「每百米」改为「每千米」）
与 c 图二选一：a 变用 u，a 定用 c

5典型样图

◆ 理想 / 受控状态（u 图（单位缺陷数图））

解读：单位缺陷数稳定；注意限值随检查量起伏，判读须对位比较。

规则 1：1 点超出 \(3\sigma\)

突发性大偏移，属「一次性」特殊原因：设备突发故障、量具失准、错料、操作失误。检查单位可变；与 c 图同理，\(\bar{u}\cdot a\) 过小则近似失效。

规则 2：连续 9 点位于中心线同侧

过程均值发生阶跃：新批次原料、换班、设备调整、模具更换。检查单位可变；与 c 图同理，\(\bar{u}\cdot a\) 过小则近似失效。

规则 3：连续 6 点递增或递减

渐变型原因：刀具/电极磨损、温度漂移、溶液浓度衰减、操作者疲劳。检查单位可变；与 c 图同理，\(\bar{u}\cdot a\) 过小则近似失效。

规则 4：连续 14 点上下交替

系统性交替：两台设备/两个班次轮流取样，或操作者过度调整（over-control）。检查单位可变；与 c 图同理，\(\bar{u}\cdot a\) 过小则近似失效。

规则 5：连续 3 点中 2 点超出 \(2\sigma\)（同侧）

中等偏移的早期信号，比规则 1 灵敏，常预示均值已开始漂移。检查单位可变；与 c 图同理，\(\bar{u}\cdot a\) 过小则近似失效。

规则 6：连续 5 点中 4 点超出 \(1\sigma\)（同侧）

小偏移的早期信号，先于规则 1/5 报警，需结合过程背景确认。检查单位可变；与 c 图同理，\(\bar{u}\cdot a\) 过小则近似失效。

规则 7：连续 15 点落在 \(1\sigma\) 内（C 区）

变异被人为压小：数据分层（多股流混入同一子组），或控制限算错（用整体 \(\sigma\) 代替组内 \(\sigma\)）。检查单位可变；与 c 图同理，\(\bar{u}\cdot a\) 过小则近似失效。

规则 8：连续 8 点无一点落在 \(1\sigma\) 内

双峰/混合分布：两股不同均值的数据流被混在同一张图上，应先分层再判读。检查单位可变；与 c 图同理，\(\bar{u}\cdot a\) 过小则近似失效。

6案例

每天检验的布匹米数不同（3~7.5 百米），u 图控制限随之起伏。检验量大的那天反而更易报警，一度被误认为异常。

要点：检查单位会变时用 u 图；检验量 a 越大限越窄，大批量更易报警属归一化后的正常现象。

\(\leftarrow\) 返回计数型控制图8 条判异准则 \(\to\)选图种 \(\to\)

特殊类型：CUSUM/EWMA/稀有/多变量/非正态/预控制建\(\cdot\)特殊

特殊类型控制图：总述

当常规休哈特图不适用或不够灵敏时，才进入特殊类型。CUSUM 与 EWMA 都通过累积历史信息来提高对小偏移的检测灵敏度：CUSUM 在目标值两侧分别构建累积和，非常适合监控已知目标值的过程；EWMA 通过平滑参数 \(\lambda\) 调节历史权重，\(\lambda\) 越小对持续小偏移越灵敏。代价是二者对突发性大偏移（\(1.5\sigma\) 以上）的报警速度可能不如常规休哈特图，因此实践中常与 I–MR 图联合使用。Hotelling \(T^{2}\) 图用于同时监控多个相关特性，度量当前观测向量偏离均值向量的马氏距离；不可用多个单变量图各自独立监控——特性强相关时系统性偏移可能在单变量图上毫无迹象，而多张独立图会严重放大联合虚报概率。g / t 图面向稀有事件（p 极低），用概率限且判定方向与传统图相反；Z–MR 解决小批量样本不足；预控制图用于能力充足时的快速守门；多流 / 残差图分别处理多股流与自相关数据。

5.1 CUSUM 图（累积和）

化工过程的缓慢催化剂失活、刀具的渐进磨损、配方的微小偏移。

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5.2 EWMA 图（指数加权移动平均）

半导体工艺参数漂移、环境温湿度的缓慢变化、连续化工过程。

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5.3 Hotelling \(T^{2}\) 图（多变量）

多尺寸联动的精密零件、多指标并行的配方过程、多传感器联合监控。

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5.4 g / t 图（稀有事件）

百万分之几的不良率监控、rare 安全事故、极低发率的设备故障。

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5.5 Z–MR 图（小批量标准化）

柔性加工单元、按订单定制的机加工、模具切换频繁的注塑产线。

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5.6 预控制图（Pre-control）

操作工开机前自检、换型后首件确认、能力充足的成熟工序快速筛查。

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5.7 多流 / 残差控制图

多腔注塑、多头灌装线、连续化工/造纸过程（自相关）、在线传感器高频采样。

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常规休哈特图对 \(\geq 1.5\sigma\) 大偏移高效，但对微小偏移、稀有事件、多变量、非正态、自相关数据力有不逮。以下特殊图填补这些缺口（均源自 ISO 7870 系列与权威教材）。

CUSUM（累积和图）

把当前值与目标值的偏差逐步累加，持续微小偏移因累积效应快速报警。常用 k=0.5、h=4.77（检 \(1\sigma\) 偏移，\(ARL_{0}\approx 370\)）；或 k=0.25、h=8.01（检 \(0.5\sigma\)）。对正态敏感、对突发大偏移反不如休哈特；常与休哈特图联合。表格法见 ISO 7870-4。

EWMA（指数加权移动平均图）

\(z_{i}\)=\(\lambda x_{i}+(1-\lambda)z_{i-1}\)，新近数据权重大。\(\lambda\)=0.1~0.3（小 \(\lambda\) 对小偏移更灵敏），L=3。控制限渐近恒定。对正态较稳健、对小偏移敏感；ISO 7870-6 专述，建议联合休哈特图。

g 图 / t 图（稀有事件）

监控「两次不合格间的合格品数 / 时间间隔」，基于几何 / 指数分布。用于 ppm 级缺陷的高可靠过程（电子元件、航空部件）。以下控制限报警（间隔过短=缺陷率升高）。需验证事件独立、概率恒定。

Hotelling \(T^{2}\) / MEWMA / MCUSUM（多变量）

同时监控多个相关特性（如轴承内径/外径/椭圆度），统计量 \(T^{2}\) 度量偏离均值向量的马氏距离。不可用多个单变量图各自监控——会严重放大联合虚报且漏报协方差偏移。需大样本稳估协方差；失控只指征「向量偏移」，须配合 MYT 正交分解定位变量。MEWMA/MCUSUM 对小偏移更灵敏。

多元残差图

先建回归/传递函数模型预测输出，再对残差做 \(T^{2}\) 图，消除已知可控因素影响，集中检测意外变异。常用于化工、半导体批次过程。

Pearson / 扩展 Shewhart（非正态）

用实际分布分位数（0.135% / 99.865%）作控制限维持名义虚报率；或百分位图（需 \(\geq 1000\) 数据）；Box-Cox 变换使数据近正态后再用标准图仍是最常用策略。

预控制图（Pre-control，非 SPC）

按公差带均分四区：绿区（中间 1/2）、两黄区、两红区（超规格）。规则：首件连抽 5 件全绿方可生产；生产中定期抽 2 件，同侧黄区则调机，任一件红区停机。假设 \(Cp\geq 1.0\)；只给「能否生产」的绿灯，不诊断变异原因，不能替代 SPC。

5.1 CUSUM 图（累积和）图种详解

5.1 特殊类型控制图CUSUM 图（累积和图）

CUSUM 图（累积和图）

Cumulative Sum Control Chart

适用

需要尽早发现小偏移（\(0.5\sigma\) ~ \(2\sigma\)）的场合
监控已知目标值、希望判断「是否已偏离目标」时
配合休哈特图使用，兼顾小偏移与大偏移

不适用

只想抓突发大偏移（\(\geq\) \(1.5\sigma\)）时——常规休哈特图更快
过程均值本身允许自然漂移、目标值不明确时
数据自相关严重时（先做残差处理）

特点

通过在目标值两侧分别构建累积和来检测单侧漂移，非常适合监控已知目标值的过程。代价是对突发性大偏移的报警速度可能不如常规休哈特图。实践中常与 I–MR 图联合使用。

典型场景

化工过程的缓慢催化剂失活、刀具的渐进磨损、配方的微小偏移。

1原理

CUSUM 不只看「当前点」，而是把历史偏差累积起来：只要过程均值有哪怕很小的持续偏移，累积和就会稳定增长并最终越过决策区间 H，从而把小偏移放大成可检出的信号。两个参数：K = \(k\cdot\sigma\)（允许值 / 松弛量，常取 k = 0.5）与 H = \(h\cdot\sigma\)（决策区间，常取 h = 4~5）。

2统计量计算

上侧 / 下侧累积和（表格式）

\(C_{i}^{+} = \max\left[0,\ X_{i} - (\mu_{0} + K) + C_{i-1}^{+}\right],\qquad C_{i}^{-} = \max\left[0,\ (\mu_{0} - K) - X_{i} + C_{i-1}^{-}\right]\)

式中　\(\mu_{0}\)过程目标值（已知基准）　\(C_{i-1}\)上一时刻的累积和　\(C^{+}\)上侧累积和（检出均值上移）　\(C^{-}\)下侧累积和（检出均值下移）　KCUSUM 允许值 / 松弛量，K = \(k\sigma\)

参数

\(K = k\sigma\ (k \approx 0.5),\qquad H = h\sigma\ (h = 4 \sim 5)\)

式中　kCUSUM 允许值系数（常取 0.5）　hCUSUM 决策区间系数（常取 4~5）　HCUSUM 决策区间，H = \(h\sigma\)　KCUSUM 允许值 / 松弛量，K = \(k\sigma\)　\(\sigma\)过程（总体）标准差

判异

\(C_i^{+} > H\ \text{或}\ C_i^{-} > H \Rightarrow \text{过程均值已偏移}\)

式中　\(C^{+}\)上侧累积和（检出均值上移）　\(C^{-}\)下侧累积和（检出均值下移）　HCUSUM 决策区间，H = \(h\sigma\)

3绘制过程

展开：完整步骤文字（含公式）

确定目标值 \(\mu_{0}\) 与 \(\sigma\)（须先由受控数据建立，不要在失控状态下定标）
选 k 与 h：k = 0.5、h = 4 检出 \(1\sigma\) 偏移的平均链长 ARL 约 8~10；h = 5 更保守
令 \(C^{+}_{0}\) = \(C^{-}_{0}\) = 0，按上式逐点递推
把 \(C^{+}\) 与 \(C^{-}\) 画在两张图（或一图上下对称）上，标出 \(\pm H\)
一旦越界即判异；越界后须将累积和复位为 0 再继续监控
与 I–MR 图联用：I–MR 抓大偏移，CUSUM 抓小偏移

4注意点

越界方向即偏移方向：\(C^{+}\) 越界 = 均值上移，\(C^{-}\) 越界 = 均值下移
C 长期在 0 附近锯齿 = 无持续偏移；C 稳定爬升 = 有小偏移正在累积，即使尚未越界也值得追查
越界后必须先复位再继续，否则后续所有判读都会被历史累积污染
CUSUM 对 \(\sigma\) 的准确性依赖较高；\(\sigma\) 被高估会让图变迟钝，被低估则虚报增多

5典型样图

◆ 理想 / 受控状态（CUSUM 图（累积和图））

解读：\(C^{+}\) 与 \(C^{-}\) 均在 0 附近低位锯齿、反复归零，说明过程无持续偏移。

形态 1：上侧累积和 \(C^{+}\) 突破决策区间 H

突发性大偏移，属「一次性」特殊原因：设备突发故障、量具失准、错料、操作失误。CUSUM 对 \(0.5\sigma\)~\(2\sigma\) 的小偏移极灵敏，但对突发大偏移反而不如休哈特图快。

形态 2：下侧累积和 \(C^{-}\) 突破 \(-H\)

过程均值发生阶跃：新批次原料、换班、设备调整、模具更换。CUSUM 对 \(0.5\sigma\)~\(2\sigma\) 的小偏移极灵敏，但对突发大偏移反而不如休哈特图快。

形态 3：持续小偏移：\(C^{+}\) 稳定爬升未越界

渐变型原因：刀具/电极磨损、温度漂移、溶液浓度衰减、操作者疲劳。CUSUM 对 \(0.5\sigma\)~\(2\sigma\) 的小偏移极灵敏，但对突发大偏移反而不如休哈特图快。

形态 4：临时偏移后复位：\(C^{+}\) 冲高回落

系统性交替：两台设备/两个班次轮流取样，或操作者过度调整（over-control）。CUSUM 对 \(0.5\sigma\)~\(2\sigma\) 的小偏移极灵敏，但对突发大偏移反而不如休哈特图快。

形态 5：均值阶跃：\(C^{+}\) 陡升越界

中等偏移的早期信号，比规则 1 灵敏，常预示均值已开始漂移。CUSUM 对 \(0.5\sigma\)~\(2\sigma\) 的小偏移极灵敏，但对突发大偏移反而不如休哈特图快。

形态 6：波动加剧：C 摆幅明显放大

小偏移的早期信号，先于规则 1/5 报警，需结合过程背景确认。CUSUM 对 \(0.5\sigma\)~\(2\sigma\) 的小偏移极灵敏，但对突发大偏移反而不如休哈特图快。

形态 7：长期单侧不归零：\(C^{+}\) 锯齿但始终 > 0

变异被人为压小：数据分层（多股流混入同一子组），或控制限算错（用整体 \(\sigma\) 代替组内 \(\sigma\)）。CUSUM 对 \(0.5\sigma\)~\(2\sigma\) 的小偏移极灵敏，但对突发大偏移反而不如休哈特图快。

形态 8：双侧交替报警：\(C^{+}\) / \(C^{-}\) 轮流冲高

双峰/混合分布：两股不同均值的数据流被混在同一张图上，应先分层再判读。CUSUM 对 \(0.5\sigma\)~\(2\sigma\) 的小偏移极灵敏，但对突发大偏移反而不如休哈特图快。

6案例

催化剂缓慢失活，过程均值每小时只漂移约 \(0.6\sigma\)，常规休哈特图迟迟不报警；CUSUM 的上侧累积和稳定爬升并越出决策区间 H，提前约 8 小时给出预警。

要点：持续小偏移正是 CUSUM 的强项；越界后必须先把累积和复位为 0 再继续监控。

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5.2 EWMA 图（指数加权移动平均）图种详解

5.2 特殊类型控制图EWMA 图（指数加权移动平均图）

EWMA 图（指数加权移动平均图）

Exponentially Weighted Moving Average Chart

适用

需要检出持续小偏移（\(\leq\) \(1.5\sigma\)）
数据轻微自相关、常规图虚报偏多时
希望对历史数据做平滑加权、兼顾灵敏与稳健时

不适用

只想抓单点突发大偏移时（休哈特图更直接）
过程本身允许大幅自然波动时（平滑会掩盖真实信号）

特点

通过平滑参数 \(\lambda\) 调节历史数据的权重：\(\lambda\) 越小，平滑度越高，对持续小偏移越灵敏。但灵敏度提高的代价是对突发性大偏移（如 \(1.5\sigma\) 以上）的报警速度可能不如常规休哈特图。实践中常与 I–MR 图联合使用。

典型场景

半导体工艺参数漂移、环境温湿度的缓慢变化、连续化工过程。

1原理

EWMA 把当前观测与上一期统计量做加权平均：\(Z_i = \lambda X_i + (1-\lambda) Z_{i-1}\)。历史信息以 \((1-\lambda)\) 的速率衰减留存，因此小偏移会被「攒」起来；\(\lambda\) 越小越平滑（对小偏移越灵敏、对大偏移越迟钝）。控制限随样本序号由窄变宽后趋于稳定。

2统计量计算

统计量

\(Z_{i} = \lambda X_{i} + (1-\lambda) Z_{i-1},\quad Z_{0} = \mu_{0}\)

式中　\(\mu_{0}\)过程目标值（已知基准）　\(\lambda\)EWMA 平滑参数（0 < λ ≤ 1，越小越灵敏）

中心线

\(CL = \mu_{0}\)

式中　\(\mu_{0}\)过程目标值（已知基准）　CL中心线（Center Line）

控制限（随 i 变化）

\(\frac{UCL}{LCL} = \mu_{0} \pm 3\sigma\sqrt{\frac{\lambda}{2-\lambda}\left[1-(1-\lambda)^{2i}\right]}\)

式中　\(\mu_{0}\)过程目标值（已知基准）　\(\lambda\)EWMA 平滑参数（0 < λ ≤ 1，越小越灵敏）　\(\sigma\)过程（总体）标准差　UCL上控制限（Upper Control Limit）　LCL下控制限（Lower Control Limit）

稳态限

\(i \to \infty:\ \mu_{0} \pm 3\sigma\sqrt{\frac{\lambda}{2-\lambda}}\)

式中　\(\mu_{0}\)过程目标值（已知基准）　\(\lambda\)EWMA 平滑参数（0 < λ ≤ 1，越小越灵敏）　\(\sigma\)过程（总体）标准差

3绘制过程

展开：完整步骤文字（含公式）

由受控数据建立 \(\mu_{0}\) 与 \(\sigma\)
选 \(\lambda\)：常用 0.10~0.30。\(\lambda\) = 0.20 兼顾 \(1\sigma\) 左右的小偏移；\(\lambda\) = 0.05~0.10 更灵敏但更迟滞
令 \(Z_{0}\) = \(\mu_{0}\)，逐点递推
画 Z 与时变控制限（软件会自动画出起始略窄的限值）
判异：Z 超出时变限值即报警；同时仍建议叠加常规判异准则看排列形态
与 I–MR 联用以兼顾大偏移

4注意点

\(\lambda\) 是灵敏度的旋钮：\(\lambda\) 小 \(\to\) 图更平滑、小偏移更易被攒出来；\(\lambda\) 大 \(\to\) 越接近休哈特图
起始几点的控制限明显偏窄，不要把开局的两个点误判为异常（这是时变限的正常形态）
EWMA 对 \(\sigma\) 与 \(\mu_{0}\) 的准确性敏感；定标阶段必须确认过程已受控
EWMA 越界后同样需要追查特殊原因，但不建议像 CUSUM 那样简单复位——应记录并处理根因

5典型样图

◆ 理想 / 受控状态（EWMA 图（指数加权移动平均图））

解读：EWMA 统计量在 0 附近小幅波动、始终位于时变控制限内。

形态 1：EWMA 统计量超出控制限

突发性大偏移，属「一次性」特殊原因：设备突发故障、量具失准、错料、操作失误。\(\lambda\) 越小越平滑、对小偏移越灵敏；实践中常与 I–MR 联用兼顾两类偏移。

形态 2：持续小偏移：EWMA 单侧缓慢爬升越界

过程均值发生阶跃：新批次原料、换班、设备调整、模具更换。\(\lambda\) 越小越平滑、对小偏移越灵敏；实践中常与 I–MR 联用兼顾两类偏移。

形态 3：阶跃偏移：EWMA 快速上冲越界

渐变型原因：刀具/电极磨损、温度漂移、溶液浓度衰减、操作者疲劳。\(\lambda\) 越小越平滑、对小偏移越灵敏；实践中常与 I–MR 联用兼顾两类偏移。

形态 4：交替振荡：EWMA 上下摆动

系统性交替：两台设备/两个班次轮流取样，或操作者过度调整（over-control）。\(\lambda\) 越小越平滑、对小偏移越灵敏；实践中常与 I–MR 联用兼顾两类偏移。

形态 5：先越界后回落（临时性特殊原因）

中等偏移的早期信号，比规则 1 灵敏，常预示均值已开始漂移。\(\lambda\) 越小越平滑、对小偏移越灵敏；实践中常与 I–MR 联用兼顾两类偏移。

形态 6：波动放大：EWMA 摆幅增大

小偏移的早期信号，先于规则 1/5 报警，需结合过程背景确认。\(\lambda\) 越小越平滑、对小偏移越灵敏；实践中常与 I–MR 联用兼顾两类偏移。

形态 7：过度平滑：\(\lambda\) 过小导致响应迟滞

变异被人为压小：数据分层（多股流混入同一子组），或控制限算错（用整体 \(\sigma\) 代替组内 \(\sigma\)）。\(\lambda\) 越小越平滑、对小偏移越灵敏；实践中常与 I–MR 联用兼顾两类偏移。

形态 8：双侧越界（过程方差增大）

双峰/混合分布：两股不同均值的数据流被混在同一张图上，应先分层再判读。\(\lambda\) 越小越平滑、对小偏移越灵敏；实践中常与 I–MR 联用兼顾两类偏移。

6案例

半导体腔体温度缓慢上漂（\(\lambda\) = 0.20）。EWMA 统计量单侧缓慢爬升、越出时变控制限，比 I–MR 图更早报警。

要点：\(\lambda\) 越小对小偏移越灵敏；起始几点的控制限偏窄，不要误判为异常。

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5.3 Hotelling \(T^{2}\) 图（多变量）图种详解

5.3 特殊类型控制图Hotelling \(T^{2}\) 图（多变量控制图）

Hotelling \(T^{2}\) 图（多变量控制图）

Hotelling T-squared Chart

适用

需要同时监控多个相关质量特性（如轴承的内径、外径和椭圆度）
特性之间存在相关性、单看一个变量会漏判时
希望控制联合虚报概率而不是各自为政时

不适用

多个特性相互独立时（用多张单变量图反而更好定位问题）
样本量小到无法稳定估计协方差矩阵时（m 应远大于 p）
只需要定位「哪个特性出了问题」时\(--T^{2}\) 报警后仍需回溯到单变量图

特点

计算联合统计量 \(T^{2}\)，度量当前观测向量偏离历史均值向量的马氏距离。必须强调：不可用多个单变量图各自独立监控多变量过程——一是特性间强相关时某些系统性偏移在单变量图上可能毫无迹象；二是多个独立控制图会严重放大联合虚报概率。

典型场景

多尺寸联动的精密零件、多指标并行的配方过程、多传感器联合监控。

1原理

\(T^{2}\) 是多元版的「标准化距离的平方」：\(T^2 = (\mathbf{x}-\bar{\mathbf{x}})^T \mathbf{S}^{-1}(\mathbf{x}-\bar{\mathbf{x}})\)。它用协方差矩阵的逆做度量，因此同时扣掉了量纲与相关性——两个变量各自都在 \(\pm 3\sigma\) 之内，但它们的组合关系违反历史相关结构时，\(T^{2}\) 仍会越界。这正是多变量图不可替代的原因。

2统计量计算

统计量（马氏距离）

\(T^2 = (\mathbf{x} - \bar{\mathbf{x}})^T \mathbf{S}^{-1} (\mathbf{x} - \bar{\mathbf{x}})\)

式中　\(T^{2}\)Hotelling 多变量统计量（马氏距离的平方）　\(S^{-1}\)协方差矩阵的逆（扣掉量纲与相关性）

控制上限（Phase I，m 组、每组 n 件、p 个特性）

\(UCL = \frac{p(m-1)(n-1)}{mn-m-p+1}\,F_{\alpha,\,p,\,mn-m-p+1}\)

式中　FF 分布分位数（用于 \(T^{2}\) 的精确控制限）　\(\alpha\)显著性水平（概率限的尾部面积为 \(\frac{\alpha}{2}\)）　UCL上控制限（Upper Control Limit）　n子组大小（每个子组的样本量）　m子组 / 组数，或多变量个数 p 的样本组数　p不合格 / 事件概率，或变量个数

大样本近似

\(m \gg p:\ UCL \approx \chi^2_{\alpha,\,p}\quad(\alpha = 0.005,\ p = 2 \Rightarrow 10.60)\)

式中　\(\alpha\)显著性水平（概率限的尾部面积为 \(\frac{\alpha}{2}\)）　UCL上控制限（Upper Control Limit）　m子组 / 组数，或多变量个数 p 的样本组数　p不合格 / 事件概率，或变量个数

3绘制过程

展开：完整步骤文字（含公式）

确定要联合监控的 p 个特性，并确认它们确实相关（否则无需 \(T^{2}\)）
收集 Phase I 数据：组数 m 应远大于 p（经验 m \(\geq\) 10p），估计均值向量与协方差矩阵 S
逐组（或逐个观测）算 \(T^{2}\)
按 F 分布（或大样本 \(\chi^{2}\) 近似）确定 UCL
判异：\(T^{2}\) > UCL 即报警
报警后必须回溯：看各单变量图、或用贡献度分解定位是哪个特性 / 哪组关系出了问题

4注意点

核心是「相关结构」：两个变量各自正常但组合异常时，只有 \(T^{2}\) 能发现——这是不能用两张单变量图代替的根本原因
联合虚报概率：p 个独立特性各用 \(\alpha\) = 0.0027 的图，联合虚报率约 1 \(-\) (1 \(-\) \(\alpha)\)^p，远大于 \(\alpha\)
\(T^{2}\) 只报警不定位，必须配合单变量图或贡献度分析做根因追查
协方差矩阵 S 的估计需要足够样本；m 太小会让 UCL 失真，图上会出现大量虚报

5典型样图

◆ 理想 / 受控状态（Hotelling \(T^{2}\) 图（多变量控制图））

解读：\(T^{2}\) 值在低位（\(\chi^{2}_{2}\) 的期望约 2）随机波动，未触及 UCL，相关结构正常。

形态 1：单点 \(T^{2}\) 超 UCL（相关结构被破坏）

突发性大偏移，属「一次性」特殊原因：设备突发故障、量具失准、错料、操作失误。关键是「相关结构」：两变量各自都在 \(\pm 3\sigma\) 内，联合 \(T^{2}\) 仍可能越界——这正是不能用两张单变量图代替的原因。

形态 2：连续 9 点 \(T^{2}\) 高于中位数（整体偏移）

过程均值发生阶跃：新批次原料、换班、设备调整、模具更换。关键是「相关结构」：两变量各自都在 \(\pm 3\sigma\) 内，联合 \(T^{2}\) 仍可能越界——这正是不能用两张单变量图代替的原因。

形态 3：\(T^{2}\) 连续上升（缓慢漂移）

渐变型原因：刀具/电极磨损、温度漂移、溶液浓度衰减、操作者疲劳。关键是「相关结构」：两变量各自都在 \(\pm 3\sigma\) 内，联合 \(T^{2}\) 仍可能越界——这正是不能用两张单变量图代替的原因。

形态 4：连续 14 点高低交替

系统性交替：两台设备/两个班次轮流取样，或操作者过度调整（over-control）。关键是「相关结构」：两变量各自都在 \(\pm 3\sigma\) 内，联合 \(T^{2}\) 仍可能越界——这正是不能用两张单变量图代替的原因。

形态 5：连续 3 点中 2 点超 2/3 UCL

中等偏移的早期信号，比规则 1 灵敏，常预示均值已开始漂移。关键是「相关结构」：两变量各自都在 \(\pm 3\sigma\) 内，联合 \(T^{2}\) 仍可能越界——这正是不能用两张单变量图代替的原因。

形态 6：连续 5 点中 4 点超 1/3 UCL

小偏移的早期信号，先于规则 1/5 报警，需结合过程背景确认。关键是「相关结构」：两变量各自都在 \(\pm 3\sigma\) 内，联合 \(T^{2}\) 仍可能越界——这正是不能用两张单变量图代替的原因。

形态 7：连续 15 点 \(T^{2}\) 极低（分层 / \(\sigma\) 被高估）

变异被人为压小：数据分层（多股流混入同一子组），或控制限算错（用整体 \(\sigma\) 代替组内 \(\sigma\)）。关键是「相关结构」：两变量各自都在 \(\pm 3\sigma\) 内，联合 \(T^{2}\) 仍可能越界——这正是不能用两张单变量图代替的原因。

形态 8：连续 8 点 \(T^{2}\) 无一点落在低位

双峰/混合分布：两股不同均值的数据流被混在同一张图上，应先分层再判读。关键是「相关结构」：两变量各自都在 \(\pm 3\sigma\) 内，联合 \(T^{2}\) 仍可能越界——这正是不能用两张单变量图代替的原因。

6案例

轴承内径与外径相关（\(\rho\) = 0.70）。内径 \(+1.5\sigma\)、外径 \(-1.5\sigma\) 时，两张单变量图各自都在限内，但联合统计量 \(T^{2}\) 越界——相关结构被破坏。

要点：相关特性必须用 \(T^{2}\) 联合监控；\(T^{2}\) 只报警不定位，报警后须回溯单变量图找根因。

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5.4 g / t 图（稀有事件）图种详解

5.4 特殊类型控制图g / t 图（稀有事件控制图）

g / t 图（稀有事件控制图）

g and t Charts (Rare Events)

适用

不合格品率或缺陷率极低（如 p < 0.001），常规 p / c 图几乎数不到事件时
高可靠性、高合格率过程（六西格玛水平）的持续监控
用「间隔」而不是「频率」来刻画事件时

不适用

事件率没那么低时（p / np / c / u 图更直观）
无法记录准确的间隔机会数或时间时

特点

g 图监控「相邻两次事件之间经过了多少机会数」，t 图监控「隔了多久」。两者都用概率限（不是 \(3\sigma\)），因此限值极度不对称。关键方向：g 图低于 LCL 才是恶化（事件更频繁）。

典型场景

百万分之几的不良率监控、rare 安全事故、极低发率的设备故障。

1原理

当 p 极小时，二项 / 泊松的正态近似失效，且一个子组里常常一个事件都没有，常规 p 图失去意义。改为刻画「两次事件之间的间隔」：g ~ 几何分布，t ~ 指数分布。分布本身高度右偏，故不能用 \(\mu\) \(\pm\) \(3\sigma\)，而要用概率限（上下尾各 \(\frac{\alpha}{2}\)）。

2统计量计算

g 图（几何分布，p 为事件概率）

\(CL = \frac{\ln 0.5}{\ln(1-p)},\quad UCL = \frac{\ln(\frac{\alpha}{2})}{\ln(1-p)},\quad LCL = \frac{\ln(1-\frac{\alpha}{2})}{\ln(1-p)}\)

式中　\(\alpha\)显著性水平（概率限的尾部面积为 \(\frac{\alpha}{2}\)）　UCL上控制限（Upper Control Limit）　LCL下控制限（Lower Control Limit）　CL中心线（Center Line）　p不合格 / 事件概率，或变量个数

t 图（指数分布，\(\theta\) 为平均间隔）

\(CL = \theta\ln 2,\quad UCL = -\theta\ln(\frac{\alpha}{2}),\quad LCL = -\theta\ln(1-\frac{\alpha}{2})\)

式中　\(\alpha\)显著性水平（概率限的尾部面积为 \(\frac{\alpha}{2}\)）　\(\theta\)t 图的平均事件间隔　UCL上控制限（Upper Control Limit）　LCL下控制限（Lower Control Limit）　CL中心线（Center Line）

判定方向

\(g < LCL \Rightarrow \text{事件率升高（恶化）};\qquad g > UCL \Rightarrow \text{改善}\)

式中　UCL上控制限（Upper Control Limit）　LCL下控制限（Lower Control Limit）

3绘制过程

展开：完整步骤文字（含公式）

确认事件率确实低到常规图失效（先试算 \(n\bar{p}\) 或 \(\bar{c}\)，若长期为 0 就该换图）
定义「机会数」（件、批、公里…）或「时间」作为间隔的度量
记录每次事件发生的序号 / 时间，算出间隔序列
估计 p（或 \(\theta\)），按概率限公式算 UCL / LCL（取 \(\alpha\) = 0.005 或 0.0027）
画图并判读；注意方向与传统图相反
间隔序列不独立时（有聚集性）需先做分层或改用其它模型

4注意点

方向相反：常规控制图是「越界 = 变差」，g 图是「跌破下控制限 = 变差」，穿过上控制限反而代表改善——这是稀有事件图最容易讲错的一点
限值用概率限而非 \(3\sigma\)，且上下极不对称（UCL 可能是 LCL 的几百倍），属正常形态
图上每个点代表一次事件，样本量天然很小，不要指望它有常规图的检出力
若事件长期不发生（g 一路走高穿过 UCL），应先核实检验/记录是否漏检，再下「改善」结论

5典型样图

◆ 理想 / 受控状态（g / t 图（稀有事件控制图））

解读：间隔长度随机、未触及 LCL，事件率稳定（这是稀有事件图理想的「低频」状态）。

形态 1：单点低于 LCL：事件骤然频发（恶化）

突发性大偏移，属「一次性」特殊原因：设备突发故障、量具失准、错料、操作失误。稀有事件图用概率限（非 \(3\sigma\)），且方向相反：低于 LCL 才是恶化。

形态 2：连续多点偏低：事件率持续升高

过程均值发生阶跃：新批次原料、换班、设备调整、模具更换。稀有事件图用概率限（非 \(3\sigma\)），且方向相反：低于 LCL 才是恶化。

形态 3：间隔持续缩短（渐变恶化）

渐变型原因：刀具/电极磨损、温度漂移、溶液浓度衰减、操作者疲劳。稀有事件图用概率限（非 \(3\sigma\)），且方向相反：低于 LCL 才是恶化。

形态 4：间隔长短交替（周期性因素）

系统性交替：两台设备/两个班次轮流取样，或操作者过度调整（over-control）。稀有事件图用概率限（非 \(3\sigma\)），且方向相反：低于 LCL 才是恶化。

形态 5：连续 3 点中 2 点接近 LCL

中等偏移的早期信号，比规则 1 灵敏，常预示均值已开始漂移。稀有事件图用概率限（非 \(3\sigma\)），且方向相反：低于 LCL 才是恶化。

形态 6：连续 5 点中 4 点低于中位数

小偏移的早期信号，先于规则 1/5 报警，需结合过程背景确认。稀有事件图用概率限（非 \(3\sigma\)），且方向相反：低于 LCL 才是恶化。

形态 7：连续多点高于 UCL：事件率显著改善

变异被人为压小：数据分层（多股流混入同一子组），或控制限算错（用整体 \(\sigma\) 代替组内 \(\sigma\)）。稀有事件图用概率限（非 \(3\sigma\)），且方向相反：低于 LCL 才是恶化。

形态 8：间隔忽长忽短，方差异常增大

双峰/混合分布：两股不同均值的数据流被混在同一张图上，应先分层再判读。稀有事件图用概率限（非 \(3\sigma\)），且方向相反：低于 LCL 才是恶化。

6案例

焊点虚焊率在百万分之几量级，p 图长期一个事件都数不到；改用 g 图刻画「相邻两次虚焊间的机会数」，间隔跌破下控制限即给出恶化预警。

要点：稀有事件图用概率限、方向相反：跌破 LCL 才是恶化，穿过 UCL 反而代表改善。

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5.5 Z–MR 图（小批量标准化）图种详解

5.5 特殊类型控制图Z–MR 图（小批量标准化图）

Z–MR 图（小批量标准化图）

Z–MR Chart (Short Runs)

适用

多品种、小批量：每种产品 / 规格的样本量都不足以单独建控制图
频繁换型、每个批次只做几件的柔性产线
各品种目标值与公差不同，但可标准化到同一尺度时

不适用

各品种的 \(\sigma\) 差异很大且无法稳定估计时（标准化会失真）
单品种大批量时（直接用 \(\bar{X}-R\) / \(\bar{X}-S\) 更自然）

特点

把不同零件按其各自的目标值与标准差标准化后再同图监控，从而把「样本不够建限」的小批量问题转化为「一张图管所有品种」。

典型场景

柔性加工单元、按订单定制的机加工、模具切换频繁的注塑产线。

1原理

Z = (X \(-\) \(\mu_{\mathrm{ref}})/\sigma_{\mathrm{ref}}\)：不同品种的观测值各自减去本品种目标值、除以本品种标准差，换算成无量纲的「偏离多少倍 \(\sigma\)」。标准化后所有品种共用 CL = 0、UCL = +3、LCL = \(-3\)，于是可以在同一张图上累计监控。MR 图用相邻 Z 值的移动极差监控变异。

2统计量计算

标准化

\(Z_{i} = \frac{X_{i} - \mu_{ref}}{\sigma_{ref}}\)

式中　\(\sigma\)过程（总体）标准差

Z 图

\(CL = 0,\quad UCL = +3,\quad LCL = -3\)

式中　UCL上控制限（Upper Control Limit）　LCL下控制限（Lower Control Limit）　CL中心线（Center Line）

MR 图（标准化后）

\(MR_{i} = |Z_{i} - Z_{i-1}|,\quad CL = 1.128,\quad UCL = 3.267,\quad LCL = 0\)

式中　UCL上控制限（Upper Control Limit）　LCL下控制限（Lower Control Limit）　CL中心线（Center Line）

3绘制过程

展开：完整步骤文字（含公式）

为每个品种确定 \(\mu_{\mathrm{ref}}\) 与 \(\sigma_{\mathrm{ref}}\)（可由历史数据、公差或工艺能力给出，必须写进文件）
每次取样后按所属品种标准化得 Z
把 Z 按时间顺序画在一张图上（不同品种可用不同颜色 / 符号区分）
同时画 MR 图，先看 MR 再看 Z
按 8 条判异准则判读（与常规图完全一致）
品种的 \(\mu_{\mathrm{ref}}\) / \(\sigma_{\mathrm{ref}}\) 变更时，须重新标准化并更新基线

4注意点

标准化的前提是各品种的 \(\sigma_{\mathrm{ref}}\) 可靠；用拍脑袋的 \(\sigma\) 会把真实信号抹平或放大
Z 图上「换品种」本身会造成跳变，判读时须按品种分层看，不能把跨品种的跳变当异常
若发现某品种长期偏向一侧，说明该品种的 \(\mu_{\mathrm{ref}}\) 定偏了，应修正目标值而不是判过程失控
小批量图解决的是「样本量」问题，不解决「过程是否稳定」的问题——仍需先受控再谈能力

5典型样图

◆ 理想 / 受控状态（Z–MR 图（小批量标准化图））

解读：标准化后各点落在 \(\pm 3\) 内、无规则排列，说明各零件都贴合各自目标值。

规则 1：1 点超出 \(3\sigma\)

突发性大偏移，属「一次性」特殊原因：设备突发故障、量具失准、错料、操作失误。不同零件/批次标准化后同图监控，解决小批量「样本不够建限」的问题。

规则 2：连续 9 点位于中心线同侧

过程均值发生阶跃：新批次原料、换班、设备调整、模具更换。不同零件/批次标准化后同图监控，解决小批量「样本不够建限」的问题。

规则 3：连续 6 点递增或递减

渐变型原因：刀具/电极磨损、温度漂移、溶液浓度衰减、操作者疲劳。不同零件/批次标准化后同图监控，解决小批量「样本不够建限」的问题。

规则 4：连续 14 点上下交替

系统性交替：两台设备/两个班次轮流取样，或操作者过度调整（over-control）。不同零件/批次标准化后同图监控，解决小批量「样本不够建限」的问题。

规则 5：连续 3 点中 2 点超出 \(2\sigma\)（同侧）

中等偏移的早期信号，比规则 1 灵敏，常预示均值已开始漂移。不同零件/批次标准化后同图监控，解决小批量「样本不够建限」的问题。

规则 6：连续 5 点中 4 点超出 \(1\sigma\)（同侧）

小偏移的早期信号，先于规则 1/5 报警，需结合过程背景确认。不同零件/批次标准化后同图监控，解决小批量「样本不够建限」的问题。

规则 7：连续 15 点落在 \(1\sigma\) 内（C 区）

变异被人为压小：数据分层（多股流混入同一子组），或控制限算错（用整体 \(\sigma\) 代替组内 \(\sigma\)）。不同零件/批次标准化后同图监控，解决小批量「样本不够建限」的问题。

规则 8：连续 8 点无一点落在 \(1\sigma\) 内

双峰/混合分布：两股不同均值的数据流被混在同一张图上，应先分层再判读。不同零件/批次标准化后同图监控，解决小批量「样本不够建限」的问题。

6案例

柔性产线一天换 4 种规格、每种只做 3 件，单品种无法建限；按各自 \(\mu\) / \(\sigma\) 标准化后用 Z 图同图监控，发现某规格长期偏向一侧（\(\mu_{\mathrm{ref}}\) 定偏）。

要点：标准化解决「样本不够建限」；换品种造成的跳变不算异常，判读须按品种分层。

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5.6 预控制图（Pre-control）图种详解

5.6 特殊类型控制图预控制图（Pre-control）

预控制图（Pre-control）

Pre-control Chart

适用

过程能力充足（Cpk \(\geq\) 1.33~1.5），只需「守住」规格不必精细监控时
现场操作工自检、需要零计算快速判定时
作为控制图的补充手段做快速筛查

不适用

过程能力不足时（预控制会频繁误停机）
需要评估过程能力、做 Cpk / Ppk 分析时——预控制图不做能力分析
需要区分普通原因与特殊原因、做持续改进时

特点

以规格带为准而非以过程变异为准，把公差带划分为绿 / 黄 / 红三区，判据是「连续 2 点黄」或「1 点红」，操作工无需任何计算。注意：它用于「保规格」，不能替代控制图做过程能力分析。

典型场景

操作工开机前自检、换型后首件确认、能力充足的成熟工序快速筛查。

1原理

预控制把规格带一分为二：中间 1/2 为绿区（目标值 \(\pm\) 1/4 规格带），绿区到规格限之间为黄区，规格限之外为红区。它不问「过程是否受控」，只问「有没有掉出规格」——因此判据极其简单，代价是检出力低、且要求过程本身能力充足。

2统计量计算

分区（T 为目标值，Tol = USL \(-\) LSL）

\(\text{绿区}: T \pm \frac{Tol}{4},\qquad \text{黄区}: \frac{Tol}{4} < |X - T| \le \frac{Tol}{2},\qquad \text{红区}: |X - T| > \frac{Tol}{2}\)

判据

\(\text{连续 2 点落黄区} \Rightarrow \text{调整};\qquad \text{任一点落红区} \Rightarrow \text{立即停机调整}\)

启动条件

\(\text{连续 5 件全在绿区} \Rightarrow \text{方可开机生产}\)

3绘制过程

展开：完整步骤文字（含公式）

确认过程能力充足（经验门槛 Cpk \(\geq\) 1.33），否则不要用预控制
按规格带画出绿 / 黄 / 红三区（T \(\pm\) Tol/4 为绿区边界）
开机前连续抽 5 件：必须全绿才能开机
运行中按规定频次抽 2 件（一对）判定：两绿继续；一黄一绿或同侧两黄 \(\to\) 调整；异侧两黄 \(\to\) 变异过大须减小波动；任一红 \(\to\) 立即停机
连续 25 对（50 件）无需调整 \(\to\) 可降低抽样频次
任何规格变更、工艺变更后重新走一遍启动流程

4注意点

预控制图不问「受控」，只问「合格」——不能拿它算 Cpk，也不能用它判断过程是否稳定
能力不足（Cpk < 1）时用预控制会频繁误停，反而打击现场信心
「异侧两黄」是变异过大的信号（不是均值偏移），处理方向完全不同，别混为一谈
它适合做守门员；真正要改进过程，仍须回到休哈特控制图与能力分析

5典型样图

◆ 理想 / 受控状态（预控制图（Pre-control））

解读：点子集中在绿区并偶尔触及黄区但不成对，是预控制图期望的正常状态。

形态 1：出现 1 个红区点：立即停机调整

突发性大偏移，属「一次性」特殊原因：设备突发故障、量具失准、错料、操作失误。预控制图以规格为准而非过程能力，用于「保规格」不用于「判受控」，不能替代控制图做能力分析。

形态 2：连续 2 个黄区点（同侧）：停机调整

过程均值发生阶跃：新批次原料、换班、设备调整、模具更换。预控制图以规格为准而非过程能力，用于「保规格」不用于「判受控」，不能替代控制图做能力分析。

形态 3：连续 2 个黄区点（异侧）：过程变异过大

渐变型原因：刀具/电极磨损、温度漂移、溶液浓度衰减、操作者疲劳。预控制图以规格为准而非过程能力，用于「保规格」不用于「判受控」，不能替代控制图做能力分析。

形态 4：连续 5 点全绿且居中：可降低抽检频次

系统性交替：两台设备/两个班次轮流取样，或操作者过度调整（over-control）。预控制图以规格为准而非过程能力，用于「保规格」不用于「判受控」，不能替代控制图做能力分析。

形态 5：点子持续偏上侧：均值偏移

中等偏移的早期信号，比规则 1 灵敏，常预示均值已开始漂移。预控制图以规格为准而非过程能力，用于「保规格」不用于「判受控」，不能替代控制图做能力分析。

形态 6：点子持续走高逼近规格上限

小偏移的早期信号，先于规则 1/5 报警，需结合过程背景确认。预控制图以规格为准而非过程能力，用于「保规格」不用于「判受控」，不能替代控制图做能力分析。

形态 7：黄—绿—黄交替，过程不稳定

变异被人为压小：数据分层（多股流混入同一子组），或控制限算错（用整体 \(\sigma\) 代替组内 \(\sigma\)）。预控制图以规格为准而非过程能力，用于「保规格」不用于「判受控」，不能替代控制图做能力分析。

形态 8：双侧黄区交替：变异大于规格带

双峰/混合分布：两股不同均值的数据流被混在同一张图上，应先分层再判读。预控制图以规格为准而非过程能力，用于「保规格」不用于「判受控」，不能替代控制图做能力分析。

6案例

成熟工序 Cpk \(\approx\) 1.6，操作工用预控制图自检：开机连续 5 件全绿才投产；运行中出现异侧两点黄，判为变异过大并着手减小波动。

要点：预控制只守规格、不做能力分析；「异侧两黄」是变异过大的信号，与均值偏移处理方向不同。

\(\leftarrow\) 返回特殊类型控制图8 条判异准则 \(\to\)选图种 \(\to\)

5.7 多流 / 残差控制图图种详解

5.7 特殊类型控制图多流 / 残差控制图

多流 / 残差控制图

Multi-stream and Residual Charts

适用

多流过程：多腔模、多头灌装、多轴加工，同一时刻可从每一条流各取 1 件
自相关数据：连续过程相邻观测相关，常规图虚报偏多（此时用「残差」建图）
需要区分「流间差异」与「共同漂移」时

不适用

单一流、且观测相互独立时（常规 \(\bar{X}-R\) / I–MR 即可）
各流之间差异大到本质上就是不同过程时（应分开建图）

特点

多流图把各流分色同图、共用控制限，先确认流间一致再谈整体受控；残差图先对自相关数据拟合模型，再用残差画常规图，从而恢复观测的独立性。

典型场景

多腔注塑、多头灌装线、连续化工/造纸过程（自相关）、在线传感器高频采样。

1原理

先厘清两个词。多流过程：一台设备同一时刻有多条并行产出通道（多腔模、多头灌装、多轴加工），可同时从每一条流各取 1 件——这几件天然构成一个「子组」，用它们的流间极差估计 \(\sigma\)，于是样本量很少也能建限。残差：指「实际观测值 \(-\) 模型预测值」。连续过程常有自相关（相邻点天然接近），常规图会把这种正常的相近误判为异常（虚报激增）；先拟合时间序列模型（如 AR(1)）算出预测值，再用残差建图——残差若真正独立，常规判异准则才重新成立。

2统计量计算

多流：用流间极差估计 \(\sigma\)（\(d_{2}\) 取流数对应的值）

\(\hat{\sigma} = \frac{\overline{R_{流间}}}{d_2},\qquad CL = \bar{\bar{X}},\quad UCL/LCL = \bar{\bar{X}} \pm 3\hat{\sigma}\)

式中　\(\bar{X}\) 的总平均子组均值的平均，即 \(\bar{X}\) 图的中心线 CL　\(\sigma\)估计由组内变异（\(\bar{R}\) / \(\bar{S}\) / \(M\bar{R}\)）估计的过程标准差　\(\bar{X}\)子组均值（样本均值）　\(d_{2}\)极差均值的分布系数（n = 2 时 1.128），由 \(\bar{R}\) 反推 \(\sigma\)　\(\sigma\)过程（总体）标准差　UCL上控制限（Upper Control Limit）　LCL下控制限（Lower Control Limit）　CL中心线（Center Line）

残差（以 AR(1) 为例）

\(e_{t} = X_{t} - \hat{X}_{t},\qquad \hat{X}_{t} = \mu + \phi\,(X_{t-1} - \mu)\)

式中　\(\phi\)AR(1) 时间序列模型的自回归系数　\(X_{t-1}\)上一时刻的观测值（AR 模型用）　\(e_{t}\)残差 = 实际值 \(-\) 模型预测值

残差图判异前提

\(e_t\ \text{须近似独立同分布};\ \text{否则需重新识别模型阶数}\)

式中　\(e_{t}\)残差 = 实际值 \(-\) 模型预测值

3绘制过程

展开：完整步骤文字（含公式）

先判断是否需要换图：画常规 I–MR 看是否虚报偏多，或算一阶自相关 \(\rho_{1}\)
多流：同一时刻从每条流取样，按流分色画在一张图上，用流间极差建限
多流判读：先查流间一致性（任一流失控单独追查），再查全流共同漂移（共同原因）
残差：对序列识别并拟合时间序列模型（AR / ARMA 等）
检验残差是否近似白噪声（残差 I–MR 图应受控、自相关基本消失）
用残差画常规控制图并按 8 条准则判读
模型参数需定期复核；过程机理变化后重新识别

4注意点

自相关不是异常：连续过程相邻点接近是物理必然，用常规图判它必然虚报
多流图的核心是流间一致性：4 条流里只有 1 条越界，应只追查那一条腔 / 头 / 轴
全流同向漂移 = 共同原因（原料、环境、设定）；单流漂移 = 该流专有原因（堵塞、磨损）
残差图的前提是模型正确；模型没拟合好时，残差图只是把虚报换了个地方

5典型样图

◆ 理想 / 受控状态（多流 / 残差控制图）

解读：4 条流均在控制限内且流间无系统性差异，可视为同一个过程进行监控。

形态 1：单流越界：该流（腔/模/头）异常

突发性大偏移，属「一次性」特殊原因：设备突发故障、量具失准、错料、操作失误。多流图的核心是流间一致性：任一流失控都应单独追查，全流同向漂移则是共同原因。

形态 2：全部流同向漂移：共同原因（原料/环境）

过程均值发生阶跃：新批次原料、换班、设备调整、模具更换。多流图的核心是流间一致性：任一流失控都应单独追查，全流同向漂移则是共同原因。

形态 3：单流连续走高（该流磨损/堵塞）

渐变型原因：刀具/电极磨损、温度漂移、溶液浓度衰减、操作者疲劳。多流图的核心是流间一致性：任一流失控都应单独追查，全流同向漂移则是共同原因。

形态 4：流间发散：流间差异持续增大

系统性交替：两台设备/两个班次轮流取样，或操作者过度调整（over-control）。多流图的核心是流间一致性：任一流失控都应单独追查，全流同向漂移则是共同原因。

形态 5：单流趋势性渐变

中等偏移的早期信号，比规则 1 灵敏，常预示均值已开始漂移。多流图的核心是流间一致性：任一流失控都应单独追查，全流同向漂移则是共同原因。

形态 6：流间交替：取样或设备轮换周期

小偏移的早期信号，先于规则 1/5 报警，需结合过程背景确认。多流图的核心是流间一致性：任一流失控都应单独追查，全流同向漂移则是共同原因。

形态 7：各流过度集中：分层/测量分辨力不足

变异被人为压小：数据分层（多股流混入同一子组），或控制限算错（用整体 \(\sigma\) 代替组内 \(\sigma\)）。多流图的核心是流间一致性：任一流失控都应单独追查，全流同向漂移则是共同原因。

形态 8：单流方差显著增大

双峰/混合分布：两股不同均值的数据流被混在同一张图上，应先分层再判读。多流图的核心是流间一致性：任一流失控都应单独追查，全流同向漂移则是共同原因。

6案例

4 腔注塑，4 腔分色共用同一控制限。第 2 腔持续走高、其余腔受控，据此只追查该腔（磨损 / 堵塞），而非整机停产。

要点：多流图先看流间一致性：单流失控只查该流，全流同向漂移才查共同原因（原料 / 环境）。

\(\leftarrow\) 返回特殊类型控制图8 条判异准则 \(\to\)选图种 \(\to\)

判读：8 判异准则 + 判稳 + 异常模式读

控制图区别于折线图的核心就是多规则判异。区域划分：C 区（\(\pm 1\sigma\) 内）、B 区（\(\pm 1\sigma\)~\(\pm 2\sigma\)）、A 区（\(\pm 2\sigma\)~\(\pm 3\sigma\)），界外即超 \(3\sigma\)。以下 8 条等同 GB/T 4091 / ISO 7870 / Nelson 规则。

规则	判据	含义	敏感性
1	1 点超出 \(3\sigma\)（界外）	突发异常	最不敏感
2	连续 9 点在中心线同侧	均值偏移	中
3	连续 6 点递增或递减	趋势 / 漂移	中
4	连续 14 点上下交替	系统性振荡（如两设备交替）	中
5	连续 3 点中 2 点超 \(2\sigma\)（同侧 A 区）	均值开始偏移	较敏感
6	连续 5 点中 4 点超 \(1\sigma\)（同侧 B 区）	均值已轻微偏移	敏感
7	连续 15 点在 \(1\sigma\) 内（两侧 C 区）	波动异常小（分层过细/修约/造假）	中
8	连续 8 点在 \(1\sigma\) 外（两侧）	波动异常大（混批/多源）	中

★八大判异逐条图解（点按钮看可触发数据集）

下面 8 张图各自构造了一组会命中对应准则的数据。点按钮即重绘该准则的典型形态，红点（规则 7/8 为琥珀点）为被判异的点；位置图才用全部 8 条，变异图（R/S/MR）只判规则 1 与趋势。

先变异后位置，且变异图慎用链式规则。 R/S/MR 图分布右偏，准则 2/5/6/7/8（依赖对称区域概率）在偏态下不成立，应只判规则 1（超 UCL）、上升趋势、非随机模式。位置图才用全部 8 条。

判稳准则（给「受控」合理信心）

连续 \(\geq 25\) 个子组全部在界内且无非随机模式 \(\to\) 可认为受控。
或连续 35 点最多 1 点出界；或连续 100 点最多 2 点出界。
满足后延长控制限进入控制用控制图（Phase II）。

六类异常模式 \(\to\) 物理根源（结合 5M1E）

模式	图形特征	典型原因
趋势	连续 6 点升/降（准则3）	刀具磨损、浓度蒸发、滤网堵塞、疲劳
循环	可辨周期波动（准则4 特例）	温湿度昼夜变化、班次轮换、设备定期维护
分层	点挤中心线（准则7）	量具分辨率不足、控制限膨胀、数据伪造
混合	点偏两侧（准则8）	多源混入、过度调整、原材料不一
突变	均值突跳到另一水平	维修后未复位、换料/换法、量具零点漂移
靠近限	点聚 A 区（准则5 持续）	多分布混合、能力严重不足、控制限不当

信号转行动：① 确认数据质量（录错/量具异常？）\(\to\) ② 时序对比过程变更日志（批号/维修/换班）\(\to\) ③ 分层分析（按班次/设备/材料分别画图）\(\to\) ④ 实验验证可疑因素 \(\to\) ⑤ 记录标准化（入 FMEA/作业指导书）。失控后怎么处置 \(\to\)

工具口径：8 条准则可按需勾选，不必一律全开。短周期 / 小批量 / 高噪声过程常只启用规则 1、2，以压低虚报；「理想状态」＝ 8 条全选（默认档位）。另需记住一条容易混淆的口径：一条准则都不勾时，工具显示的是「未判异」而不是「受控」 —— 「没有判异信号」不等于「过程受控」（判异只判异、不判稳）。

失控处置与 Phase I / II治

Phase I（建立受控基线）

用历史数据算控制限 \(\to\) 识别并剔除已知特殊原因点（剔后重算）\(\to\) 直到过程受控 \(\to\) 得到「受控基线」的控制限。

Phase II（监控）

用 Phase I 固化的控制限实时描点判异；发现异常 \(\to\) 查因 \(\to\) 改善 \(\to\) 必要时重新计算控制限。

本案例 Phase I 演示

20 组算限 \(\to\) #18/#19 越界 \(\to\) 追因(换料/设备异常) \(\to\) 剔除两点、余 18 组重算

\(\bar{x}bar\)=20.028、Rbar=1.133、UCLx=20.682、LCLx=19.374 \(\to\) 18 点全部回到控制限内 \(\to\) 受控基线确立，转入 Phase II。对照案例与演练 \(\to\)

控制限重算规则

过程发生永久性变化（新设备/新工艺/新料）\(\to\) 重算。
剔除已知特殊原因点后 \(\to\) 重算。
控制限算错（用错 n、用错公式）\(\to\) 重算。
不要因为「点越界」就重算——越界是信息，先查因再决定。

失控处置流程：① 确认数据真实（测量/录入错？）\(\to\) ② 确认特殊原因（换料/换人/设备/环境？）\(\to\) ③ 隔离该批、追溯影响 \(\to\) ④ 采取纠正措施 \(\to\) ⑤ 验证措施有效（后续点回受控）\(\to\) ⑥ 决定是否重算控制限。

控制图 \(\neq\) 过程能力：先受控，再谈能力

维度	控制图	过程能力（Cp/Cpk）
回答	过程稳不稳（特殊原因）	过程够不够好（满足规格）
判据	判异（越界/链/趋势）	定量（Cp/Cpk 与规格比）
限的来源	过程本身（CL/UCL/LCL）	客户要求（规格限）

顺序不可颠倒：未受控的过程算 Cp/Cpk 没有意义——分布不稳定，算出来的值不代表未来。路线图：直方图（看分布）\(\to\) 散布图（找相关因子）\(\to\) 控制图（控稳）\(\to\) 能力分析（定量）\(\to\) 鱼骨图/DOE（改善）\(\to\) 改善后重画控制图确认。

能力诊断示例（先受控，再谈能力）

沿用本篇案例的 Phase I 受控基线：剔除 #18/#19 后 18 组、n=5，\(\bar{x}bar\)=20.028、Rbar=1.133。先确认「受控」（18 点全部回到控制限内），才敢算能力——这正是「先受控，再谈能力」的落地。

步骤	计算	结果
组内标准差 σ_within	Rbar / d₂(5) = 1.133 / 2.326	0.487
规格（示例）	USL=20.50，LSL=19.50	公差 1.00
Cp	(USL−LSL)/(6σ) = 1.00/(6×0.487)	0.34
Cpk	min(USL−μ, μ−LSL)/(3σ)，μ=20.028	0.32

结论：受控但能力不足。 Cpk≈0.32 ≪ 1.33——过程稳定，但组内变异过大，满足不了规格。下一步是降变异（改善设备/工艺/料），不是调均值。要把 Cpk 提到 1.33，σ_within 需降到约 0.18（当前 0.49 的 37%）。完整 Cp/Cpk/Pp/Ppk 与西格玛水平，请用过程能力工作台或过程能力试算器实算。

更完整的实时计算与判异，见控制图工作台与控制图试算器；过程能力诊断见过程能力工作台与过程能力试算器；方法总览见 SPC 方法页。

+按图种区分：失控信号 \(\to\) 处置要点

上文的 Phase I/II 与 6 步处置流程对所有图种通用；但不同控制图的「失控信号」与处置动作并不相同，尤其非休哈特图种不能硬套 8 条判异准则。下表按图种给出对应口径。

图种	失控信号	处置要点
I–MR / \(\bar{X}-R\) / \(\bar{X}-S\) / \(\tilde{X}-R\) / p / np / c / u / Z–MR	点越界或命中 8 条判异准则	查因 \(\to\) 剔除可证实特殊原因 \(\to\) 重算控制限适用口径（指导性说明）：R / S / MR 等变差图分布右偏，而准则 2 / 5 / 6 / 7 / 8 是按正态对称区域概率设计的形态准则，直接套用到变差图上下结论不可靠。因此变差图的处置以「越出 UCL」与「趋势 / 非随机形态」为主，其余形态准则仅作参考、不单独作为定案依据；位置图（I / \(\bar{X}\) / \(\tilde{X}\)）仍使用全部 8 条准则。Z–MR 图另须按品种分层：换品种处的跳变不算异常，某品种长期偏一侧应先修正该品种的 \(\mu_{\mathrm{ref}}\)。
CUSUM 图	\(C^{+}\) 或 \(C^{-}\) 越过决策区间 H	判定均值已偏移（\(C^{+}\) 上移 / \(C^{-}\) 下移）；越界后先把累积和复位为 0 再继续；对 \(0.5\sigma\)~\(2\sigma\) 小偏移灵敏，对大偏移不如休哈特图快
EWMA 图	Z 越出时变控制限	追查并处理根因；不建议像 CUSUM 那样简单复位；起始几点限偏窄，勿误判为异常
Hotelling \(T^{2}\) 图	\(T^{2}\) > UCL	只说明「不再符合历史相关结构」\(\to\) 必须回溯单变量图或做贡献度分解定位，不能直接停线
g / t 图	g 跌破 LCL（或升破 UCL）	方向相反：跌破 LCL = 恶化，升破 UCL = 改善；下结论前先核实检验 / 记录是否漏检
预控制图	连续 2 点黄（同侧 / 异侧）或 1 点红	同侧 2 黄 \(\to\) 均值偏移、停机调整；异侧 2 黄 \(\to\) 变异过大；1 点红 \(\to\) 立即停机。它只问「是否合格」不问「是否受控」，不重算控制限
多流控制图	某一条流越界 / 全流同向漂移	单流失控只查该流（腔 / 头 / 轴）；全流同向漂移查共同原因（原料 / 环境 / 设定）